الجمعة، 31 ديسمبر، 2010

Definitions on Function - الاء المآضي

Definitions on Function




Subjects to be Learned

function
domain, codomain
image
image of set
range
sum of functions
product of functions
one-to-one function (injection)
onto function (surjection)
one-to-one onto function (bijection)
inverse function
composite function
Contents

A function is something that associates each element of a set with an element of another set (which may or may not be the same as the first set). The concept of function appears quite often even in nontechnical contexts. For example, a social security number uniquely identifies the person, the income tax rate varies depending on the income, the final letter grade for a course is often determined by test and exam scores, homeworks and projects, and so on.
In all these cases to each member of a set (social security number, income, tuple of test and exam scores, homeworks and projects) some member of another set (person, tax rate, letter grade, respectively) is assigned.
As you might have noticed, a function is quite like a relation. In fact, formally, we define a function as a special type of binary relation.

Definition (function): A function, denote it by f, from a set A to a set B is a relation from A to B that satisfies
for each element a in A, there is an element b in B such that is in the relation, and
if and are in the relation, then b = c .
The set A in the above definition is called the domain of the function and B its codomain.
Thus, f is a function if it covers the domain (maps every element of the domain) and it is single valued.

The relation given by f between a and b represented by the ordered pair is denoted as f(a) = b , and b is called the image of a under f .
The set of images of the elements of a set S under a function f is called the image of the set S under f, and is denoted by f(S) , that is,
f(S) = { f(a) | a S }, where S is a subset of the domain A of f .
The image of the domain under f is called the range of f .

For properties of function in general click here for optional reading material.

Example: Let f be the function from the set of natural numbers N to N that maps each natural number x to x2 . Then the domain and codomain of this f are N, the image of, say 3, under this function is 9, and its range is the set of squares, i.e. { 0, 1, 4, 9, 16, ....} .

Definition (sum and product): Let f and g be functions from a set A to the set of real numbers R.
Then the sum and the product of f and g are defined as follows:

For all x, ( f + g )(x) = f(x) + g(x) , and
for all x, ( f*g )(x) = f(x)*g(x) ,
where f(x)*g(x) is the product of two real numbers f(x) and g(x).

Example: Let f(x) = 3x + 1 and g(x) = x2 . Then ( f + g )(x) = x2 + 3x + 1 , and ( f*g )(x) = 3x3 + x2

Definition (one-to-one): A function f is said to be one-to-one (injective) , if and only if whenever f(x) = f(y) , x = y .

Example: The function f(x) = x2 from the set of natural numbers N to N is a one-to-one function. Note that f(x) = x2 is not one-to-one if it is from the set of integers(negative as well as non-negative) to N , because for example f(1) = f(-1) = 1 .

Definition (onto): A function f from a set A to a set B is said to be onto(surjective) , if and only if for every element y of B , there is an element x in A such that f(x) = y , that is, f is onto if and only if f( A ) = B .

Example: The function f(x) = 2x from the set of natural numbers N to the set of non-negative even numbers E is an onto function. However, f(x) = 2x from the set of natural numbers N to N is not onto, because, for example, nothing in N can be mapped to 3 by this function.

Definition (bijection): A function is called a bijection , if it is onto and one-to-one.

For properties of surjection, injection and bijection click here for optional reading material.

Example: The function f(x) = 2x from the set of natural numbers N to the set of non-negative even numbers E is one-to-one and onto. Thus it is a bijection.

Every bijection has a function called the inverse function.

These concepts are illustrated in the figure below. In each figure below, the points on the left are in the domain and the ones on the right are in the codomain, and arrows show < x, f(x) > relation.





Definition (inverse): Let f be a bijection from a set A to a set B. Then the function g is called the inverse function of f, and it is denoted by f -1 , if for every element y of B, g(y) = x , where f(x) = y . Note that such an x is unique for each y because f is a bijection.

For example, the rightmost function in the above figure is a bijection and its inverse is obtained by reversing the direction of each arrow.

Example: The inverse function of f(x) = 2x from the set of natural numbers N to the set of non-negative even numbers E is f -1(x) = 1/2 x from E to N . It is also a bijection.

For properties of inverse function click here for optional reading material.

A function is a relation. Therefore one can also talk about composition of functions.

Definition (composite function): Let g be a function from a set A to a set B , and let f be a function from B to a set C . Then the composition of functions f and g , denoted by fg , is the function from A to C that satisfies
fg(x) = f( g(x) ) for all x in A .

Example: Let f(x) = x2 , and g(x) = x + 1 . Then f( g(x) ) = ( x + 1 )2 .

For properties of composite function click here for optional reading material.

الاء الماضي- 1to1correspondence

In mathematics, one-to-one correspondence refers to a situation in which the members of one set (call it A) can be evenly matched with the members of a second set (call it B). Evenly matched means that each member of A is paired with one and only one member of B, each member of B is paired with one and only one member of A, and none of the members from either set are left unpaired. The result is that every member of A is paired with exactly one member of B, and every member of B is paired with exactly one member of A. In terms of ordered pairs (a,b), where a is a member of A and b is a member of B, no two ordered pairs created by this matching process have the same first element and no two have the same second element. When this type of matching can be shown to exist, mathematicians say that "a one-to-one correspondence exists between the sets A and B." Any two sets for which a one-to-one correspondence exists have the same cardinality, that is they have the same number of members. On the other hand, a one-toone correspondence can be shown to exist between any two sets that have the same cardinality, as can easily be seen for finite sets (sets with a specific number of members). For example, given the sets A = and B = a one-toone correspondence can be established by associating the first members of each set, then the second members, then the third, and so on until each member of A is associated with a member of B. Since the two sets have the same number of members no member of either set will be left unpaired. In addition, because the two sets have the same number of members, there is no need to pair one member of A with two different members of B, or vice versa. Thus, a one-to-one correspondence exists. Another method of establishing a one-to-one correspondence between A and B is to define a one-to-one function. For example, using the same sets A and B, the function that associates each member of A with a member in B that is twice as big is such a function. This type of function is called a one-to-one function because it is reversible. In mathematical terminology, its inverse is also a function. It could just as well be defined so it maps each member of B onto a unique member of A by associating with each member of B that member of A that is half its value.

One-to-one functions are particularly useful in determining whether a one-to-one correspondence exists between infinite sets (sets with so many members that there is always another one). For example, let X be the set of all positive integers, X =, (the three dots are intended to indicate that the listing goes on forever), and let Y be the set of odd positive integers Y =. At first glance, it might be thought that the set of odd positive integers
has half as many members as the set of all positive integers. However, every odd positive integer, call it y, can be associated with a unique positive integer, call it x, by the function f(x) = y = (2x-1). On the other hand, every positive integer can be associated with a unique odd positive integer using the inverse function, namely x=(1/2)(y+1).

The function f is a one-to-one function and so a oneto-one correspondence exists between the set of positive integers and the set of odd positive integers, that is, there are just as many odd positive integers as there are positive integers all together. Carrying this notion further, the German mathematician, George Cantor, showed that it is also possible to find a one-to-one correspondence between the integers and the rational numbers (numbers that can be expressed as the ratio of two whole numbers), but that it is not possible to find a one-to-one correspondence between the integers and the real numbers (the real numbers are all of the integers plus all the decimals, both repeating and nonrepeating). In fact, he showed that there are orders of infinity, and invented the transfinite numbers to describe them.

الخميس، 30 ديسمبر، 2010

إتصـال الدوال التحليليه

يقال عن داله f أنها متصله عند النقطه إذا حققت الشروط التاليه الأتيه

1_ موجوده


2_
لـها وجود
أي " f مـعـرفـه عند "


3_
أي أن لكل عدد موجب
يوجد عدد موجب
بحيث ...
طالما كان

ملاحظه

** داله المتغير المركب متصله في المنطقه R إذا كانت متصله عند كل نقطه من نقاط هذه المنطقه

**_دالة المتغير المركب تكون متصله عند النقطه

إذا وفقط كانت مركباتيها uوv داله متصله هناك

**_إذا كان هناك دالتان متصلتان عند نقطه فإن مجموعهما وحاصل ضربهما داله متصله عند نفس النقطه
كما أن حاصل قسمة دالتين متصلتين عند نقطه هو داله متصله عند نفس النقطه بشرط أن المقام لايساوي صفر ..

**_ كثيرة الحدودداله متصله في المستوى المركب بأكمله

مثال

داله متصله في المستوى المركب بأكمله لأن مركبتيها كثيرتي حدود في x و y هي متصله عند كل نقطه (x,y)


وجدان الشبرين

الدوال

في الرياضيات، تعتبر التوابع المثلثية أو الدوال المثلثية دوال لزاوية هندسية، و هي دوال مهمة عندما نريد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال ك نسبة لأضلاع مثلث قائم الذي يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية unit circle . في الرياضيات ، الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو ، وبشكل أوسع. كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات ان الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي) ، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.
أنواع الدوال المثلثية

توجد ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:
جا أو الجيب ، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر.
جتا أو جيب التمام ، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر.
ظا أو الظل ، ويساوي النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.
اسم التابع الاختصار العلاقة جيب sin أو جب أو جا تجيب أو جيب تمام cos ، تجب أو جتا ظل tan ، طل أو ظا تظل أو ظل تمام cot ، تظل أو ظتا Secantأو قاطع sec أو قا Cosecant أو قاطع تمام csc أو قتا [عدل] علاقات مثلثية




هيا الملحم

المتباينات

لتوفير دعما كاملا لOLE، تضمنت نسخة 32-بت من دلفي نوع بيانات متباين Variany.هنا أريد أن أناقش نوع البيانات هذا من زاوية عامة. نوع متباين، في الواقع، أصبح له تأثير متزايد على كامل اللغة، لدرجة أن مكتبة مكوّنات دلفي تستخدم هذا النوع بطرق ليس لها علاقة ببرمجة OLE.

المتباينات ليس لها نوع
بصفة عامة، يمكنك استعمال المتباينات لتخزين أي نوع بيانات و لانجاز مختلف العمليات و تحويلات النوع. لاحظ أن هذا ضد التوجّه العام للغة باسكال و ضدّ أعراف البرمجة الجيدة. المتباين يتم فحص نوعه و يتم حسابه في وقت التشغيل. المجمّع compiler لن يحذرك من احتمالات الأخطاء في التوليف، و التي لن يستدلّ عليها إلا بعد اجراء اختبارات مكثفة. بصورة عامة، يمكنك اعتبار أجزاء التوليف التي تستخدم المتباينات هي لتوليف ترجمة فورية interpreted، لأنه، مثل أي توليف لترجمة فورية، العديد من العمليات لا يمكن التقرير بشأنها وحلّها إلى في وقت التشغيل. هذا يوثر بصفة خاصة في سرعة التوليف.

الآن و قد حذرتك من استخدام نوع المتباين، حان الوقت لرؤية ماذا يمكنه أن يفعل. أساسا حالما تقوم بتعريف متغير متباين مثل التالي:

var
V: Variant;يمكنك أن تخصّص له عدة أنواع مختلفة:

V := 10;
V := 'Hello, World';
V := 45.55;حالما تتحصل على قيمة متباين، يمكنك نسخه إلى أي نوع بيانات آخر متوافق أو غير متوافق. إذا خصصت قيمة لنوع بيانات غير متوافق، تقوم دلفي بإجراء التحويل، إذا استطاعت ذلك. و إلا فإنها ستصدر خطأ وقت التشغيل. في الواقع المتباين يخزن معلومات النوع رفق البيانات، لتسمح بعدد من العمليات في وقت التشغيل؛ هذه العمليات قد تكون مفيدة لكنها بطيئة و غير مأمونة.

أنظر إلى المثال التالي (اسمه VariTest)، و الذى هو توسيع للتوليف أعلاه. قمت بوضع ثلاث خانات كتابة على نموذج form جديد، و اضفت بعض الأزرار، ثم كتبت التوليف التالي لحدث OnClick للزرّ الأول:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
V: Variant;
begin
V := 10;
Edit1.Text := V;
V := 'Hello, World';
Edit2.Text := V;
V := 45.55;
Edit3.Text := V;
end;أمر مضحك، أليس كذلك؟ فبجانب تخصيص متباين يحوي جملة إلى سمة Text في مكون خانة الكتابة، يمكنك تخصيص متباين يحوي رقما صحيحا أو رقم نقطة عائمة إلى نفس سمة Text.

الشكل 10.1: ناتج مثال VariTest بعد الضغط على زرّ Assign



أسوأ من هذا، يمكنك استخدام المتباينات لحساب القيم، كما تري في التوليف المتصل بالزرّ الثاني:

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var
V: Variant;
N: Integer;
begin
V := Edit1.Text;
N := Integer(V) * 2;
V := N;
Edit1.Text := V;
end;كتابة مثل هذا التوليف فيه مخاطرة، أقلّها، إذا احتوت خانة الكتابة الأولى على رقم، فكل شيء سيعمل، غير ذلك، سيبرز اعتراض exception. مرّة أخرى يمكنك كتابة توليف مشابه، لكن في حالة عدم وجود سبب ضاغط، يجب أن تتجنب نوع المتباين؛ تشبت بأنواع بيانات باسكال التقليدية و بأسلوب تفحّص النوع. في دلفي و في مكتبة المكونات المرئية VCL، تستخدم المتباينات أساسا لدعم تقنية OLE و لمناولة حقول قواعد البيانات.

المتباينات، نظرة أعمق
تتضمّن دلفي نوع تسجيلة متباينة variant record type و هي، TVarData، والذي له نفس توزيع الذاكرة الذي لنوع متباين Variant. يمكنك استعماله للوصول إلى النوع الفعلي للمتباين. بنية TVarData تتضمن نوع المتباين هذا، مشار إليه بحقل VType، و بعض الحقول المحجوزة، و القيمة الفعلية.

القيم المحتملة لحقل VType تتطابق مع أنواع البيانات التي يمكنك استعمالها في آلية OLE، و التي غالبا ما تسمّى بأنواع OLE أو أنواع متباينة. فيمل يلي سرد أبجدي كامل لأنواع المتباين المتوفرة:

varArray
varBoolean
varByRef
varCurrency
varDate
varDispatch
varDouble
varEmpty
varError
varInteger
varNull
varOleStr
varSingle
varSmallint
varString
varTypeMask
varUnknown
varVariant
يمكنك ايجاد أوصاف هذه الأنواع في موضوع VarType function في نظام مساعدة دلفي.

هناك أيضا العديد من الوظائف من أجل العمليات على المتباينات يمكنك استخدامها لصنع تحويلات معينة أو لطلب معلومات عن النوع الذي يحمله المتباين (انظر، مثلا، وظيفة VarType). معظم تحويلات النوع و وظائف التخصيص هذه فعليا يتم استدعاؤها بصورة آلية عندما تكتب تعبيرات تستخدم فيها المتباينات. إجرائيات أخرى تدعم نوع متباين (راجع موضوع Variant support routines في ملف المساعدة) تقوم أيضا بعمليات على المصفوفات المتباينة.

المتباينات نوع بطئ!
التوليف الذي يستخدم نوع متباين سيكون بطئ، ليس فقط عندما تقوم بتحويل أنواع البيانات، و لكن أيضا عندما تجمع قيم متباينين يحمل كلاهما عددا صحيحا. هي تقريبا بطيئة مثلها مثل التوليف المترجم لفيجوال بيسك! من أجل مقارنة سرعة خوارزمية مبنية على المتباينات مع أخرى بتوليف مشابه و معتمد على أعداد صحيحة، يمكنك النظر إلى مثال VSpeed:

هذا البرنامج ينفذ حلقة loop، مع قياس سرعتها، عارضا حالته في قضيب انجاز progress bar. فيما يلي أولى الحلقتين المتشابهتين، المبنيتين على الأعداد الصحيحة و المتباينات:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
time1, time2: TDateTime;
n1, n2: Variant;
begin
time1 := Now;
n1 := 0;
n2 := 0;
ProgressBar1.Position := 0;
while n1 < 5000000 do
begin
n2 := n2 + n1;
Inc (n1);
if (n1 mod 50000) = 0 then
begin
ProgressBar1.Position := n1 div 50000;
Application.ProcessMessages;
end;
end;
// we must use the result
Total := n2;
time2 := Now;
Label1.Caption := FormatDateTime (
'n:ss', Time2-Time1) + ' seconds';
end;توليف قياس الوقت يستحق النظر، لأنه شيئ يمكنك تطويعه بسهولة لأي نوع من اختبارات الأداء. كما ترى، يستخدم البرنامج وظيفة Now للحصول على قيمة الوقت الحالي و وظيفة FormatDateTime لعرض الفرق في الوقت، طالبين فقط الدقائق ("n") و الثواني ("ss") في الجملة المصاغة. كبديل، يمكنك استخدام وظيفة API ويندوز GetTickCount، و التي ترجع مؤشر دقيق جدا لمقدار جزء من ألف من الثانية قد مرّت منذ أن بدأ نظام التشغيل.

في هذا المثال فرق السرعة حقيقة كبير جدا لدرجة تلاحظها حتى بدون قياس دقيق للوقت. على كل حال، يمكن رؤية النتائج على حاسوبي الخاص في الشكل 10.2. القيم الفعلية تعتمد على الحاسوب الذي تستخدمه لتشغيل هذا البرنامج، لكن التناسب لن يتغير كثيرا.

الشكل 10.2: فرق السرعات لنفس الخوارزمية، مبنية على أعداد صحيحة و على المتباينات (الوقت الفعلي يتباين من حاسوب لآخر)، كما هو معروض من قبل مثال VSpeed



وجدان محمد الشبرين

الثلاثاء، 28 ديسمبر، 2010


خواص المتباينات (1) :

المقارنة بين عددين حقيقيين مختلفين

الهدف : أن يستقرئ الدارس العلاقة التالية :
1. إذا كان أ ، ب عددين حقيقيين مختلفين ، فإن :
أ < ب فقط إذا كان : أ – ب < صفر ..... ونقول: أ > ب فقط إذا كان هنالك عدد حقيقي موجب جـ بحيث أ ـ جـ = ب .

2. إذا كان أ ، ب عددين حقيقيين مختلفين ، فإن :
أ > ب فقط إذا كان : أ – ب > صفر ..... ونقول:
أ > ب فقط إذا كان هنالك عدد حقيقي موجب د بحيث أ + د = ب .

الإجراءات والأنشطة :
مثال (1) : كيف يُمكننا المقارنة بين العددين 5 ، 3 ؟؟
أ- لندرس العبارة (5 – 3) :
5 – 3 = 2 ، 2 عدد حقيقي موجب < صفر . \ (5 – 3) < صفر. هل هنالك عدد حقيقي موجب (جـ) بحيث 5 – جـ = 3 ؟؟؟ حسناً ، 5 – 2 = 3 . نقول : 5 . >
3
3 أو
< 5 5 عدد حقيقي موجب أكبر من الصفر . 3 عدد حقيقي موجب أكبر من الصفر . . . < 3 < 5 ب- والآن ماذا عن (3 – 5) ؟؟ 3 – 5 = -2 ، -2 عدد حقيقي سالب > صفر .
\ (3 – 5) > صفر.
هل هنالك عدد حقيقي موجب (جـ) بحيث 3 + جـ = 5 ؟؟؟
نعم يوجد عدد موجب هو العدد (2) : أي أن جـ = 2

هنادي الخيبري
n2

تطابق مثلثات, صفات المثلثات وصفات الاشكال الرباعية

تطابق مثلثات, صفات المثلثات وصفات الاشكال الرباعية

*المثلثات :

(1) منصف زاوية الرأس بمثلث متساوي الساقين ينصف ايضاً القاعدة ويكون عامودي عليها.

(2) بالمثلث – يقابل الاضلاع المتساوية زوايا متساوية , والعكس صحيح .
• اذا كان المثلث هو مثلث متساوي الساقين إذاً الزوايا المجاورة للقاعدة متساويتين.
• (جملة عكسية) : اذا كان بالمثلث زاويتين متساويتين إذاً المثلث هو مثلث متساوي الساقين.

(3) بالدالتون (الدالتون هو مثلث متساوي الساقين مزدوج) , المستقيم الواصل بين زوايا الرأس في المثلثات المتساوية الساقين ينصف زوايا الرأس, وينصف القطر الثاني ويكون عامودي عليه.

(4) الزاوية الخارجية في المثلث اكبر من أي زاوية داخلية ما عدا المجاورة لها. (وتساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورة لها) .

(5) بالمثلث – يقابل الزاوية الكبيرة في المثلث الضلع الكبير . والعكس صحيح .

(6) مجموع أي ضلعين في المثلث اكبر من الضلع الثالث , والفرق بين أي ضلعين اصغر من الضلع الثالث.

(7) تطابق المثلثات :

(أ‌) يتطابق المثلثين اذا تساويا بضلعين والزاوية المحصورة بينهما (ض,ز,ض) .
(ب‌) يتطابق المثلثين اذا تساويا بضلع والزاويتين المجاورتان له (ز,ض,ز) .
(ت‌) يتطابق المثلثين اذا تساويا بالثلاثة اضلاع (ض,ض,ض).
(ث‌) يتطابق المثلثين اذا تساويا بضلعين والزاوية المقابلة للضلع الكبير من بينهما (ض,ض,ز).

(8) (أ) في المثلث المتساوي الساقين المتوسطان للساقين متساويين. (المتوسط للضلع هو المسنقيم الذي يخرج من احد رؤوس المثلث وينصف الضلع المقابل له ( انصاف الكميات المتساوية متساوية)).
(ب) بالمثلث المتساوي الساقين الارتفاعات على الساقين متساوية.
(ج) منصفات زوايا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساوية .





** خطوط متوازية :


(9)اذا اعطيا خطين مستقيمان قطعهما مستقيم ثالث ينتج زوج من :
زوايا متناظرة متساوية او زوايا متبادلة متساوية او زوايا على نفس الجهة من القاطع اللتان مجموعهما يساوي 180 .
كان المستقيمان متوازيان.

(10)اذا قطع مستقيم ثالث مستقيمين متوازيين اثنين ينتج :
(أ‌) الزوايا المتناظرة متساوية.
(ب‌) الزوايا المتبادلة متساوية
(ت‌) مجموع الزوايا التي على نفس الجهة من القاطع يساوي 180.

(11) (أ) زوايا التي ساقيهما متوازية بالتلائم هي متساوية ومكملة ل 180 . (أي لدينا زاويتين ساقين هذين الزاويتين متوازيين بالتلائم اذا هاتين الزاويتين متساويتين و مجموعهما يساوي 180)
(ب) زوايا التي ساقيهما معامدة بالتلائم هي متساوية ومكملة لـ 180.
(12) مجموع الزوايا الداخلية للمثلث مساوية لـ 180.

(13) الزاوية الخارجية في المثلث مساوية لمجموع الزاويتين الداخليتين ما عدا الزاوية المجاورة لها.(ملاحظة : كل زاوية خارجية بالمثلث تكمل الزاوية الداخلية الملتصقة بها لـ 180)

(14) مجموع الزوايا الداخلية لمضلع له n اضلاع هو : 180 * (n-2)
ملاحظات :
(أ‌) مجموع كل الزوايا الخارجية بكل مضلع يساوي 180 .
(ب‌) اذا كان المضلع منتظم اذاً كل زواياه متساوية ولذلك كل زواياه تساوي : (180/n) * (n-2)
للتذكير : بالمضلع كا واحدة من الزوايا اصغر من 180 .





أشكال رباعية :




(15) تعريف متوازي الاضلاع :
هو شكل رباعي فيه كل ضلعين من متقابلين متوازيين .

(16) شكل رباعي الذي فيه كل ضلعين متقابلين متساويين هو متوازي اضلاع . (جملة عكسية : بمتوازي الاضلاع كل ضلعين متقابلين متساويين )

(17) شكل رباعي الذي فيه ضلعان متقابلين متوازيان ومتساويان هو متوازي اضلاع .

(18) اقطار متوازي الاضلاع ينصف احدهما الاخر . ( جملة عكسية : في شكل رباعي اقطاره تنصف بعضها البعض اذا هو متوازي اضلاع) .

(19)(أ) اقطار المستطيل متساوية . (والعكس : متوازي اضلاع الذي فيه اقطار متساوية هو مستطيل . )
ملاحظة : ( اذا كانت اقطار شكل رباعي متساوية ومنصفة لبعضها البعض اذا هذا الشكل الرباعي هو مستطيل ).
(ب) اذ بمتوازي الاضلاع احدى الزوايا تساوي لـ 90 درجة اذا متوازي الاضلاع هو مستطيل .

(20) (أ) الاقطار بالمعين تنصف زوايا المعين , (والعكس : متوازي الاضلاع الذي اقطاره منصفة لزواياه هو معين )
(ب) الاقطار بالمعين تعامد بعضها البعض . (والعكس : متوازي اضلاع الذي اقطاره معامدة لبعضها هو معين).

(21) شبه المنحرف المتساوي الساقين اقطاره مساوية لبعضها والزاويتين المجاورتين لكل قاعدة متساويتين .

(22) (أ) بمثلث قائم الزاوية وبه زاوية حادة مساوية لـ 30 درجة العامود القائم المقابل لهذه الزاوية يساوي نصف الوتر .

(ت‌) اذا بمثلث قائم الزاوية احد الاضلاع القوائم يساوي نصف الوتر , اذا اذا الزاوية المقابلة للضلع القائم تساوي 30 درجة .

(23) (أ) بمثلث قائم الزاوية المتوسط للوتر يساوي نصف الوتر.
(ب) اذا بالمثلث المتوسط للضلع يساوي نصفه اذا المثلث هو مثلث قائم الزاوة (جملة عكسية) .

(24) القطع المتوسط بالمثلث ( القطعة التي توصل وسط ضلعين في المثلث ) هو موازي للضلع الثالث ويساوي نصفه .

(25) قطعه التي تنصف ضلع بالمثلث , وتوازي للضلع الثاني – ينصف الضلع الثالث. (جملة عكسية لرقم 24)

(26) (أ) قطع متوسط بشبه المنحرف موازي للقاعدتين ومساوي لنصف لمجموعهما.
(ب) القطعه المنصفه للساق بشبه منحرف وموازية لقاعدتي شبه المنحرف تنصف ايضاً الساق الثاني لشبه المنحرف .

(27) نقاط الالتقاء لاثنين من المتوسطات بالمثلث يقسم كل متوسط لقسمين حيث ان القسم الخارج من زاوية الراس يكون ضعفي القسم الاخر . (اي يقسم كل مستقيم بنسبة 1:2)






القسم الثاني :
الدائرة
الاوتار والزوايا بالدائرة :



(1) (أ) نصف القطر العامودي على الوتر بالدائرة ينصفه .
(ب) جملة عكسية : نصف القطر الذي ينصف الوتر يكون عامودي عليه.

(2) (أ)الاوتار المتساوية بالدائرة تبقى بابعاد متساوية عن مركز الدائرة .
(ب) جملة عكسية : اذا ابعاد الاوتار عن مركز الدائرة متساوية فان الاوتار متساوية.

(3) (أ) اذا تباينت الاوتار في الدائرة تباين ابعادها عن المركز . (بحيث ان اكبرها هو اقربها عن المركز) .
(ب) جملة عكسية : الوتر الاقرب من مركز الدائرة هو الاكبر.

• الزاوية المحيطية : هي الزاوية التي رأسها على المحيط واضلاعها هم اوتار الدائرة .
• الزاوية المركزية : هي زاوية التي رأسها في مركو الدائرة واضلاعها انصاف اقطار في الدائرة .

(4) الزاوية المحيطية في الدائرة تساوي نصف الزاوية المركزية الواقعة على نفس الوتر .

(5) (أ) يقابل الزوايا المركزية المتساوية في الدائرة اوتار متساوية (اقواس متساوية) في نفس الدائرة او في الدوائر المتساوية نفس طول القطر ونصف القطر.
(ب) جملة عكسية : يقابل الاوتار المتساوية زوايا مركزية متساوية .

(6) (أ) يقابل الزوايا المحيطية المتساوية في نفس الدائرة اقواس متساوية و اوتار متساوية .
(ب) جملة عكسية : على اقواس متساوية بالدائرة ينتج زوايا محيطية متساوية .
جملة عكسية : على اوتار متساوية بالدائرة تكون الزوايا المحيطية او الزوايا المركزية مجموعهما 180.


* ( النظريات (5) , (6) تتحقق اذا كانت الزوايا بنفس الدائرة او بدائرتين منفردتين متساويتين (لهما نفس نصف القطر ))


(7) (أ) الزاوية المحيطية الواقعة على القطر تساوي 90 درجة .
(ب) جملة عكسية : الزاوية المحيطية التي تساوي 90 درجة تكون مقابلة للقطر في الدائرة .

(8) قوس الدائرة هي المحل الهندسي للنقطة التي يُرى منها الوتر , التي تكون عليه , بنفس الزاوية .


(9) الزاوية المحصورة بين وترين اللذان يتقاطعان بداخل الدائرة (زاوية داخلية) تساوي نصف مجموع الاقواس المحصورات بين ضلعي الزوايا وامتدادهن.

(10) الزاوية المحصورة بين وترين اللذان امتداددهما يتقاطعان خارج الدائرة (زاوية خارجية) يساوي نصف الفرق بين الاقواس اللمنقسمان من الدائرة بواسطة اضلاع الزوايا .





مــــــــــــــماس الدائـــــــــــــــــرة :


(11)

(أ) المماس للدائرة عامودي على نصف القطر في نقطة التماس .
(ب) جملة عكسية : المستقيم العامودي على نصف القطر في طرفه يكون مماس للدائرة .

(12) المماسان الخارجان من نفس النقطة متساويان .

(13) الزاوية المحصورة بين مماس ووتر مشتركان في نقطة تساوي الزاوية المحيطية الواقعة على نفس الوتر من الجهة الثانية .

مضلعات تحصر دائرة ومضلعات تنحصر في دائرة :

(14) (أ) الشكل الرباعي الذي يحصر دائرة فيه مجموع كل ضلعين متقابلين متساويين .
(ب) جملة عكسية : شكل رباعي الذي فيه مجموع كل ضلعين متقابلين متساويين يمكن ان ينحصر في دائرة .

(15) (أ) في الشكل الرباعي المحصور داخل دائرة مجموع كل زاويتين متقابلتين متساوي ويساوي 180 درجة .
(ب) جملة عكسية : شكل رباعي الذي فيه مجموع كل زاويتين متقابلتين متساوي ويساوي 180 درجة يمكن حصره داخل دائرة .

(16) كل مضلع منتظم يمكن حصره داخل دائرة ويمكن حصر دائرة داخله وللدائرتين نفس المركز .



دائــــــــــــــرتين :



(17) الدائرتين التي تشترك في نقطة واحده تسمى دائرتين متماستين والمستقيم الواصل بين مركزي الدائرتين يسمى بخط المركزين ويمر من نقطة التماس .

(18) خظ المركزين لدائرتين متقاطعتين يكون عامودي على الوتر المشترك وينصفه .




المحلات الهندسية و نقاط خاصة بالمثلث :


(1) العامود المتوسط لقطعة معينة هو المحل الهندسي لجميع النقاط التي تبعد بابعاد متساوية عن اطراف القطعة .

(2) الاعمدة المتوسطة في المثلث تلتقي في نقطة واحدة وهذه النقطة تسمى مركز الدائرة التي تحصر المثلث .

(3) الارتفاعات الثلاثه بالمثلث تلتقي بنقطة واحدة (لكن هذه النقطة غير معرفة بالمثلث )

(4) منصف الزاوية هو المحل الهندسي لجميع النقاط التي تبعد بابعاد متساوية عن ساقي الزاوية .

(5) منصفات الزوايا الثلاثة في المثلث تلتقي في نقطة واحدة وهذه النقطة تسمى مركز الدائرة المحصورة داخل المثلث .

.....................


مكان مركز الدائرة التي تحصر مثلث حسب نوع المثلث :



(نظرية عامة :
نقطة تلاقي الاعمدة المنصفة لاضلاع المثلث تمثل مركز الدائرة التي تحصر المثلث . )

*في مثلث حاد الزاوية الاعمدة المنصفة الثلاثة تلتقي بمركز الدائرة بداخل المثلث .
** في مثلث قائم الزاوية ثلاثة الاعمدة المنصفة تلتقي بمركز الدائرة الموجودة في وسط الوتر (في هذه الحالة ,,,, وتر المثلث = قطر الدائرة ) .
*** في مثلث منفرج الزاوية الاعمدة المنصفة الثلاثة تلتقي بمركز الدائرة الموجوده خارج المثلث .



المساحات :
+ المحيط + تعريفات :



المثلث :مساحة المثلث : ( القاعدة * الارتفاع)/2
او
1/2 * (حاصل ضرب ضلعين من اضلاعه) * (الزاوية المحصورة بينهما )Sin

المحيط : مجموع اضلاعه الثلاثة .

..................

المربع :هو عبارة عن شكل رباعي جميع زواياه قوائم وكذلك جميع اضلاعه متساوية ,
مساحة المربع : مربع طول ضلعه أي الضلع ضرب نفسه
المحيط : اربعة اضعاف طول ضلعه او مجموع الاضلاع الاربع .
اقطار الربع : متعامدة أي تصنع فيما بينها زاوية قائمة وتنصف بعضها البعض .
نقطة التقاء القطرين في المربع هي عبارة عن مركز الدائرة التي تحصر المربع فعليه تكون انصاف اقطار الربع بمثابة الدائرة المذكورة , اذا جميع الانصاف متساوية .

..........................

شبه المنحرف :
هو عبارة عن شكل رباعي فيه زوج من الاضلاع المتقابلة متوازية .
محيط شبه المنحرف : مجموع اضلاعه الاربعه .
مساحته : (مجموع القاعدتين * الارتفاع ) \2

......................

الدائرة :هي عبارة عم المحل الهندسي لكافة النقاط التي تبعد بعداً ثابتاً عن نقطة معلومة .
البعد يعبر عن نصف قطرها والنقطة المعلومة هي مركز الدائرة .
الوتر في الدائرة : هي عبارة عن القطعة التي تصل بين نقطتين واقعتين على محيط الدائرة ولا تمر بالمركز .
القطر : القطعة التي تصل بين نقطتين مختلفتين على محيط الدائرة وتمر في مركزها , والقطر يقسم الى قسمين متساويين وكل قسم يرمز له ب r .
الزاوية المحيطية : هي الزاوية التي تقع على محيط الدائرة ومحصورة بين وترين من اوتارها او بين قطر ووتر .

...............

المستطيل :هو عبارة عن شكل رباعي وجميع زواياه قوائم وكل ضلعين متقابلين فيه متساويين ومتوازيين , واقطاره متساوية وتنصف بعضها بعضاً .
المحيط : مجموع اضلاعه.
المساحة : الطول * العرض .

.................
متوازي الاضلاع :هو عبارة عن شكل هندسي رباعي وكل ضلعين فيه متساويين ومتوازيين ايضاً .
مساحته : الطول * الارتفاع .
........................

المعين :هو شكل رباعي جميع اضلاعه متساوية وهو عبارة عن متوبزي اضلاع ولكن اقطاره متعامدة .
مساحته : (حاصل ضرب القطرين ) * 1\2
..............

* كل زاويتين متقابلتين بالراس متساويتان.
** مجموع كل زاويتين متجاورتين واقعتين على خط استقامة واحد يساوي 180 درجة .





التناسب ونظرية طالس :التناسب هو التساوي بين نسبتين او اكثر.



نظرية طاليس :اذا قطع مستقيمان متوازيان ساقي زاوية فانهما يقطعان قطع متناسبة من ساقي الزاوية .
جملة عكسية :
اذا قطع مستقيمين ضلعي زاوية ونتج من التقاطع قطع متناسبة فان المستقيمين متوازيين .

نظرية طالس الموسعة :
المستقيم الذي يوازي احد اضلاع المثلث ينتج مثلثاً اضلاعه متناسبة مع المثلث المعطى .





*****
* منصف الزاوية في المثلث يقسم الضلع المقابل الى قسمين النسبة بينهما تساوي النسبة بين الاضلاع التي تحصر الزاوية والعكس صحيح .




تشابه المثلثات :


يتشابه المثلثات اذا توفر احد البنود :
أ‌) احدى نظريات تطابق المثلثات الاربع.
ب‌) اذا كانت الزوايا متساوية في المثلثين على التناظر .

(المثلثات المتطابقة = المثلثات المتشابهة , المثلثات المتشابهة # المثلثات المتطابقة)
يتشابه المثلثان حسب النظريات التالية :
(1) اذا تساوت زوايا المثلث الاول مع زوايا المثلث الثاني يتشابه المثلثان. (ز,ز,ز)
(2) اذا تناسب ضلعان بالمثلث الاول مع ضلعان بالمثلث الثاني والزوايا المحصورة بين الاضلاع متساوية ينتج ان المثلثين متشابهين . (ض,ز,ض)
(3) مثلثان متشابهين اذا تناسبت الاضلاع المتناظرة (ض,ض,ض)

النتائج التي تنتج من تشابه المثلثات :
(1) النسبة بين الارتفاعات المتناظرة في مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة .
(2) النسبة بين منصفات الزوايا المتناظرة في المثلثين المتشابهة النسبة بينهما تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة .
(3) النسبة بين المتوسطات المتناظرة في مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة .
(4) النسبة بين محيطات المثلثات المتشابهة تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة.
(5) النسبة بين انصاف اقطار الدائرة المحصورة في مثلثات متشابهة تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة .
(6) النسبة بين انصاف اقطار الدائرة التي تحصر مثلثات متشابهة تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة.
(7) النسبة بين مساحات المثلثات المتشابهة تساوي لمربع النسبة بين الاضلاع المتناظرة ....


جواهر عبدالله القباني ..
N2

الدوال الرياضيه

الدالة Abs : ترجع القيمة المطلقة لآي عدد وترجعه من نفس نوع البيانات المعطى للدالة والمقصود بالقيمة المطلقة هي قيمة العدد بدون إشارة فالقيمة المطلقة ل (-13) مثلا هي (13) وهكذا

الدالة Sqr : تستخدم هذه الدالة في تحديد الجذر التربيعي لرقم معين

الدالة Log : تستخدم هذه الدالة في تحديد قيمة اللوغاريتم العشري لرقم


الدالة Exp : تستخدم هذه الدالة في تحديد القيمة (e) وهي قاعدة اللوغاريتم الطبيعي مرفوعة بقوة الرقم الذي تتضمنه حيث (e) تساوي تقريبا 2.7182818

الدالة Rnd : : وتستخدم هذا الدالة في توليد أرقام عشوائية تقع ما بين الصفر و واحد بحد أقصي 15 رقما عشريا

التصريح Randomize : يعمل هذا التصريح مع الدالة Rnd ونستفيد منه عدم التكرارية و الحصول علي عشوائية افضل وذلك لأنه يعتمد علي ساعة النظام لديك

الدالة Int : : وتستخدم هذه الدالة لحساب الجزء الصحيح فقط من رقم يشتمل علي أرقام صحيحة وعشرية أو بعبارة أخر لحذف الأرقام العشرية الموجودة بعد العلامة العشرية بدون تقريب

الدالة Atn : : تستخدم هذه الدالة في حساب مقلوب ظل الزاوية "ظتا" للرقم الذي تشتمل علية مقدار بالتقدير الدائري

الدالة Tan : : تستخدم هذه الدالة في تحديد قيمة ظل زاوية معينة

الدالة Cos : : وتستخدم هذه الدالة في تحديد قيمة جيب تمام الزاوية معينة

الدالة Sin : تستخدم هذه الدالة في تحديد قيمة جيب زاوية معينة

الدالة Round : وهي دالة التقريب التي من خلالها يمكنك تحديد عدد الأرقام العشرية

الدالة Fix : وهي تشبه الدالة Int تماما أي أنها تستخدم لحساب الجزء الصحيح فقط


ابرار بن سحمان .

مفهووم القيمه المطلقه

مفهوم القيمة المطلقة لـ س : بعد النقطة س عن نقطة الأصل

لذلك عند حل المعادلة : القيمة المطلقة لـ س = 4 ( مثلا )

نبحث عن الأعداد التي بعدها عن الصفر يساوي 4 ، فنجد أن هناك عددان هما 4 ، -4

وبالتالي : س = 4 أو س= - 4 .

كذلك بالمثل : القيمة المطلقة لـ ( س - 1 ) تعني : بعد النقطة س عن العدد 1

لذلك عند حل المعادلة : القيمة المطلقة لـ ( س - 1 ) = 4 ( مثلا )

نبحث عن الأعداد التي بعدها عن 1 يساوي 4 ، فنجد أن هناك عددان هما 5 ، -5

وبالتالي : س = 5 أو س= - 5 .



ابرار بن سحمان
الجذر التربيعي و الجذر النوني

The nTh and Square Roots

هناك طريقة حسابية لايجاد الجذر النوني لعدد حقيقي موجب a.
تبدأ الطريقة بايجاد أو تخمين قيمة مبدئية ولنسميها ثم بايجاد قيم جديدة أكثر دقة باستخدام الصيغة الكرارية :


استخدم القيمة الجديدة في الصيغة السابقة لإيجاد قيم جديدة أخرى وهكذا استمر حتى تصل الى قيمة ترضى عنها كتقريب للجذر المطلوب .
كلما كانت القيمة التقديرية الأولى قريبة من القيمة المضبوطة للجذر
كلما تطلب الوصول الى دقة أكبر خطوات أقل.
ما يهم الكثرين هو الجذر التربيعي والتكعيبي . في حالة الجذر التربيعي تصبح الصيغة بالصورة المألوفة:


في حالة الجذر التكعيبي (عندما n=3) تصبح الصيغة التكرارية بالصورة:

حل معادلات الحدوديات
Solving Polynomial Equations

معادلات الحدوديات هي التي على الصورة :

حيث أن المجهول والمعاملات يمكن أن تنتمي إلى حقل[م] الأعداد المركبة بشكل عام
حل معادلة الدرجة الثانية
Solving Quadratic Equations
إن الشكل العام للمعادلة التربيعية هو :

ولها حلان يمكن إيجادهما بالعلاقة :

المقدار يسمى المميز .
إذا كان المميز موجباً فإن للمعادلة حلين حقيقين
إذا كان المميز سالباً فإن للمعادلة حلين مركبين مترافقين
إذا كان المميز صفر فإن للمعادلة حل حقيقياً مكرراً.
استنتاج العلاقة
يمكن استنتاج العلاقة باستخدام إكمال المربع ، في البداية نقسم على a :

وبعدها نضيف ونطرح المقدار اللازم لإكمال المربع :

وبكتابة المربع الكامل في طرف وبقية الحدود في طرف :


وبأخذ الجذر التربيعي :


وبترتيب الحدود :






حل معادلات الدرجة الثالثة - طريقة كاردانو
Cardano's Method
مقدمة تأريخية :
أول من حل معادلة الدرجة الثالثة على الشكل كان سبيونيه دل فرو Scipione del Ferro في أوائل القرن السادس عشر ، لكنه احتفظ بالحل سراً إلى حين وفاته حيث أفشاه إلى تلميذه أنطونيو فوير والذي بدوره احتفظ بالطريقة سراً .
عام 1530 ، استلم نيكولو فونتانا المعروف بـتارتاغليا (Tartaglia) معادلتين تكعبيتين من رياضي آخر وأعلن أنه استطاع حلهما . لم يصدقه أنطونيو فوير وتحداه علناً في مسابقة تضمنت أن يضع أحد طرفي المسابقة مبلغاً من المال ويطلب من الطرف الآخر أن يقوم بحل مسائل معينة خلال 30 يوماً . وإذا حل المسألة يحصل على النقود . كان مسألة فوير هي حل المعادلة والتي نجح تارتاغليا في حلها ، ولكن فوير فشل في حل مسألة غريمه والتي كانت وخسر المسابقة .
طلب كاردانو Cardano من تارتاغليا الحل ، والذي أفشاه له مشفراً في قصيدة بشرط أن لا يكشف عنه لأي كان . التزم كاردانو بالوعد إلى أن عرف بحل فرو الغير منشور فحصل على مخرج من وعده بالقول أنه ينشر عمل فرو لا حل تارتاجليا ، وقام بنشرها في كتابه Ars Magna واشتهرت الطريقة باسم كاردانو ، مع أنه من المفروض أن تسمى بطريقة فرو-تارتاجليا
لقد ساهمت هذه الطريقة بدعم موقف الرياضيين الذين تحدثوا عن الذي كانوا يواجه بتشكيك هائل ، ففي كتابه الجبر ، تحدث رافاييل بومبلي في 1572 عن المعادلة ، حيث أن حل لهذه المعادلة ، ولكن باستخدام الصيغة التي سنثبتها في نهاية الموضوع فإن الحل الناتج ، وقد أثبت بومبلي أن :

، مما أعطى الأعداد المركبة بعداً واقعياً أكثر .
طريقة الحل
المــعادلة العامة للدرجة الثالثة هي . .:

والتي يمكن اختزالها إلى المعادلة

بتعويض على الشكل ( ) حيث يمكن إيجاد أن
نقوم الآن باستبدال آخر وهو ( x=u-v) ، وسنحصل على المعادلة :


والتي يمكن وضعها على الشكل التالي :

يمكننا أن نلاحظ أنه الطرف الأيسر يساوي الصفر إذا كان

و

من المعادلة الأولى يمكن أن نصل إلى أن

وبالتعويض في المعادلة الثانية نحصل على :

والتي يمكن وضعها على الصورة

المعادلة الأخيرة تمثل معادلة تربيعية في ( ) ، والتي يمكن حلها بسهولة بقانون المعادلات التربيعية :

وبالتعويض ، نوجد v :

لذا :

ويمكن الحصول على الحلول الأخرى بالقسمة على ( ) .
ملاحظة : يمكن اختصار الطريقة ، بتعويض على الشكل :
بعد القسمة على ( ) والمزيد من العمليات الجبرية نحصل على الصيغة العامة للحلول لأي معادلة :

مميز المعادلة التكعيبية
بالنظر إلى المعادلات السابقة يمكننا تعريف المميز بالشكل :
إذا كان المميز موجباً فالمعادلة له حل حقيقي وحلان مركبان مترافقان
إذا كان المميز سالباً فلها ثلاثة حلول حقيقية مختلفة
إذا كان المميز صفراً ، فلها حل حقيقي ثلاثي ، أو حلان : أحدهما مكرر


حل معادلات الدرجة الرابعة - طريقة فيراري
Ferrari's Method
الصورة العامة لمعادلة الدرجة الرابعة هي :

ويمكننا اختزالها إلى المعادلة


باستبدال مشابه لما تم عرضه في طريقة كاردانو ، وهو في هذه الحالة : ؟
فكرة الحل تعتمد على تحويل[م] المعادلة إلى فرق بين مربعين يمكن تحليله ، وبالتالي الحصول على معادلتين من الدرجة الثانية يمكن حلها بسهولة ، ولإجراء ذلك نقوم بإضافة وطرح حدين .. على الشكل :


حيث (u) ثابت يمكن إيجاد قيمته لكي تصبح المعادلة على صورة فرق بين مربعين ، وبإعادة ترتيب الحدود :


لكي يكون القوس الثاني يمثل مربعاً كاملاً ، يجب أن تتحقق العلاقة التالية:


وبعد التربيع وفك الأقواس[م] نحصل على المعادلة :


وهذه هي معادلة تكعيبية في (u) يمكن حلها باستخدام طريقة كاردانو ، وإيجاد قيمة (u) ،
بعد ذلك نقوم بالتحليل :



حصلنا على معادلتين تربيعيتين نقوم بحلهما باستخدام قانون المعادلة التربيعية .


ماريا العسيري

الأحد، 26 ديسمبر، 2010

Ceva's Theorem


سيفا Ceva, Giovanni 1648-1734, رياضي إيطالي تخصص في الهندسة وقد عرف واشتهر بنظريته التي نعرضها الآن. نظرية[م] سيفا ذات صيغة جميلة ولها العديد من النتائج التي سنتطرق لها مع ترك براهينها للقاريء مع تقديم التلمحيات الكافية له.



نظرية 1 (سيفا): إذا كان ABC مثلث وكانت D,E,F ثلاث نقاط على الأضلاع المقابلة لرؤوسه A,B,C على الترتيب فإن المستقيمات AD, BE, CF تتقاطع[م] في نقطة واحدة P إذا وفقط إذا كان











البرهان:

مقسم إلى ثلاثة أقسام متشابهة, كل قسم يختص بضلع وبالأربعة مثلثات التي قواعدها جزء منه.

لنبدأ بالضلع BC. بالنسبة للمثلثين BPD, PDC فإن لهما ارتفاع مشترك وليكن h. إذا رمزنا للمساحة بالرمز مرفقا به اسم المثلث[م] فإن







بالمثل المثلثان BAD, ADC لهما ارتفاع مشترك وليكن g. إذا







إذا ومن خصائص التناسب









بالمثل فيما يتعلق بالمثلثات التي قواعدها جزء من CA نجد أن









وكذلك فيما يتعلق بالمثلثات التي قواعدها جزء من AB نجد أن









بضرب هذه التناسبات الثلاث يثبت الجزء الضروري من النظرية.



لاثبات الكفاية افرض أن ولتكن P نقطة تقاطع AD, BE. ارسم المستقيم AP والذي يقابل الضلع BC في نقطة D'. سنثبت أن D=D'. من القسم الأول من هذا الإثبات









إذا ومنه , أي أن







وبالتالي D'C=DC وبالتالي D=D' وبذلك يثبت شرط الكفاية.





نتيجة1: الارتفاعات في مثلث تلتقي في نقطة واحدة.

للإثبات ارسم الارتفاعات من A,B,C لتلاقي الأضلاع في D,E,F على الترتيب ومن خلال تطابق المثلثات استنتج التناسبات
مي منصور العيدان/n2
Morley's Theorem
في أواخر القرن التاسع عشر عام 1899م قدم البروفيسور مورلي Frank Morley نظريته المتعلقة بمستقيمات تثليث زوايا[م] المثلث[م] , فكل زاوية لها مستقيمي تثليث يقسمان الزاوية الى ثلاثة زوايا متطابقة. تنص نظرية[م] مورلي على انه

في أي مثلث , النقاط الثلاث الناتجة من تقاطع[م] مستقيمات التثليث المتجاورة adjacent trisectors تشكل مثلث متطابق الأضلاع.



لقد شكلت هذه النتيجة[م] مفاجأة , إذ لم يكن هذا أمرا متوقعا. الإثبات الأصلي لمورلي لهذه النظرية كان على شكل نتيجة من دراسة له كانت أكثر تعقيدا وبعيدة نوعا ما عن مفاهيم الهندسة المستوية.

ولذلك نشا بعدها عدة محاولات في تقديم براهين أكثر ارتباطا بالهندسة ولتلائم طبيعة المعلومة التي تحملها نظرية مورلي.

سنحاول هنا عرض ابسط البراهين التي كتبت لهذه النظرية. لقد وجدت هذا البرهان في احدى المصادر على النت واعجبني اعتماده الكامل على حقائق هندسية أولية , البرهان يسير بطريقة عكسية أنطلاقا من المثلث المتطابق الأضلاع وصولا الى مثلث مستقيمات التثليث المتجاورة فيه تتقاطع عند رؤوس المثلث المتطابق الأضلاع.

ليكن PMN مثلث متطابق الأضلاع ولتكن a,b,c أي ثلاة أعداد موجبة بحيث يكون مجموعها 60 , اي ثلث مجموع زوايا المثلث. سنبدا الآن ببناء المثلث الذي زواياه 3a, 3b , 3c.

من النقطة P ارسم زاوية قياسها a ومن النقطة M ارسم زاوية قياسها c بحيث يتقاطع ضلعي الزاويتين البعيدين عند النقطة B. بالمثل من النقطة P والنقطة N ارسم زاويتين قياسهما b و c على الترتيب بحيث يتقاطع ضلعي الزاويتين البعيدين عند النقطة A.



بالنظر للمثلث APN يظهر بوضوح أن الزاوية PAN=a
بالنظر للمثلث BPM يظهر بوضوح أن الزاوية PBM=a

المثلثين PNR و PMQ في كل منهما زاوية 60 وزاوية 60+c وضلعين متطابقين PM , PN. إذا




أيضا من التطابق, الزاويتين الخارجيتين PRA و PQB متساويتن وبالتالي المثلثان APR و BPQ متشابهان لتساوي زوايتين من الأول مع زاويتين من الثاني. ومن تناسب الأضلاع فيهما ينتج أن :




حيث النسبة الأولى من اليمين ناشئة من أن .

لنصل الآن القطعة AB . في المثلثين ABR و ABP الزاوية R= الزاويةP . ولذلك المثلثان متشابهان من خلال زاوية وتناسب ضلعين كما يبين التناسب السابق. وبالتالي الزاويتين المتبقية من المثلث ABP قياسهما a, b كما هو مبين على الشكل.

بالمثل نستطيع تكرار نفس هذه المحاورة مرة ثم مرة اخرى لنحصل في النهاية على مثلث ABC كما في الشكل قياس زواياه على 3a, 3b, 3c والتي مجموعها بطبيعة الحال 180 درجة.


هذا الاثبات يبين كيف نبني المثلث الذي تعطي مستقيمات التثليث الخاصة به ذلك المثلث المتطابق الأضلاع , ولكن هذا ليس في الحقيقة ما نريده بالضبط . لذلك وحتى يكتمل البرهان لنفرض أننا اعطينا مثلث اختياري XYZ قياس زواياه r, s , t. لنفرض أن أثلاث هذه القياسات هي a,b,c. إذا المثلث ABC المنشأ بالطريقة السابقة عبارة عن مثلث مشابه لهذا للمثلث المعطى وحيث التشابه يحافظ على الزوايا فإن نقاط تقاطه مستقيمات التثليث المتجاورة تشكل رؤوس لمثلث متطابق الأضلاع وهو المطلوب إثباته.

برهان آخر

البرهان التالي والمسمى برهان بانكوف Bankoff's Proof يعتمد على حساب المثلثات ويتميز بأنه يقدم صيغة رياضية لحساب طول ضلع المثلث الناشئ (المتطابق الأضلاع) بدلالة زوايا المثلث الأصلي.

ليكن ABC مثلث مرسوم داخل دائرة[م] نصف قطرها ولنفرض أن





ولنفرض ان الدائرة المحيطة بالمثلث نصف قطرها R=1 . من قانون الجيوب



ينتج لنا





خذ الآن المثلث BAP , من قانون الجيوب لدينا




إذا




ولكن من حساب المثلثات




بالتعويض بهذه النتيجة عن sin3a في المساواة (2) ينتج لدينا



بالمثل




ولكن من قانون جيب التمام على المثلث BPM




لاحظ أن الزوايا 60+a , 60+c , b مجموعها 180 ولذلك هي زوايا لمثلث. ولنفرض ان الدائرة المحيطة به نصف قطرها r. باستخدم قانون الجيب وعلاقته بنصف القطر[م] (المذكور أعلاه) يمكن التعبير عن أطوال أضلاع هذا المثلث بدلالة نصف القطروباستخدام هذا التعبير في قانون جيب التمام يكون الناتج



إذا




وبالتعويض في (3) نحصل على



أو




نلاحظ أن هذه الصيغة الخاصة بإيجاد طول الضلع PM في المثلث PMN متناظرة بالنسبة للقياسات a,b,c. لذلك ستكون لبقية الضلعين MN , NP نفس القيمة وهذا يثبت أن المثلث PMN متطابق الضلعين.

أخيرا اشير الى انه في العام 1995 قدم كونوي Conway برهانا جميلا وقد يكون من أقصر البراهين لنظرية مورلي اعتمد فيه أبسط المفاهيم الهندسية تماما
مي منصور العيدان/n2
القضية Proposition :


القضية هي جملة خبرية تحتمل إمكانيتان فقط فهي محددة من حيث أنها إما جملة صواب و و إما خطأ.



أمثلة :


1- جذر العدد 2 عدد غير نسبي.

2- 1+1=5.

3- أحمد يدرس فيزياء بحتة.



كل جملة من الجمل السابقة تشكل قضية .

و يمكن ملاحظة أن قضية ما قد يكون بالإمكان التثبت من صحتها

بينما قد نجد قضية أخرى لا يمكن بحال اختبارها لعدم توفر أدوات ذلك مثل قولنا

4- سوف ينقرض سمك القرش قبل الحيتان.

و طبعا هناك جمل لا تشكل قضايا مثل :

5- ماذا تقول؟

6- هذه الجملة خاطئة

7- مربع[م] العدد س يساوي 36.

فالجملة الأولى استفهامية و لا معنى لكونها صادقة أم لا

أما الجملة الثانية فهي مضللة. لماذا؟

و بالتالي لا يمكن أن تكون صحيحة كما لا يمكن أن تكون خاطئة.

أما الجملة الأخيرة فهي صحيحة لبعض قيم س و في نفس الوقت غير صحيحة لبعض القيم الأخرى.

أنواع القضايا :

القضايا نوعان إما قضايا بسيطة أو مركبة
مي منصور العيدان/n2

السبت، 25 ديسمبر، 2010

تاريخ الرياضيات

الرياضيات
علم مواضيعه مفاهيم مجرّدة والاصطلاحات الرّياضيّة تدلّ على الكمّ، والعدد يدلّ على كميّة المعدود والمقدار قابل للزيادة أو النّقصان وعندما نستطيع قياس المقدار نطلق عليه اسم الكمّ. لذلك عرّف بعض العلماء الرياضيات بأنّه علم القياس. تعتبر الرّياضيات لغة العلوم إذ أنّ هذه العلوم لا تكتمل إلاّ عندما نحوّل نتائجها إلى معادلات ونحوّل ثوابتها إلى خطوط بيانيّة.

تعرف الرياضيات بأنها دراسة القياس والحساب والهندسة. هذا بالإضافة إلى المفاهيم الحديثة نسبيا ومنها البنية، الفضاء أو الفراغ، والتغير والأبعاد. وبشكل عام قد يعرفها البعض على أنها دراسة البنى المجردة باستخدام المنطق والبراهين الرياضية والتدوين الرياضي. وبشكل أكثر عمومية، قد تعرف الرياضيات أيضا على أنها دراسة الأعداد وأنماطها.

و لقد نشأت الرياضيات بقيام الإنسان بقياس ما يشاهده من ظواهر الطبيعة بناء على فطرة وخاصية في الإنسان ألا وهي اهتمامه بقياس كل ما حوله إلى جانب احتياجاته العملية فهكذا كان هناك ضرورة لقياس قسمة المقوتة (الطعام) بين أفراد العائلة وقياس الوقت والفصول والمحاصيل الزراعية تقسيم الأراضي وغنائم الحملات الحربية والمحاسبة للتمكن من الإتجار إلى جانب علم الملاحة بالنجوم في السفر والترحال للتجارة والاستكشاف والقياسات اللازمة لتشييد الأبنية والمدن.

و هكذا فإن البنى الرياضية التي يدرسها الرياضيون غالبا ما يعود أصلها إلى العلوم الطبيعية، وخاصة علم الطبيعة، ولكن الرياضيين يقومون بتعريف ودراسة بنى أخرى لأغراض رياضية بحتة، لأن هذه البنى قد توفر تعميما لحقول أخرى من الرياضيات مثلا، أو أن تكون عاملا مساعدا في حسابات معينة، وأخيرا فإن الرياضيين قد يدرسون حقولا معينة من الرياضيات لتحمسهم لها، معتبرين أن الرياضيات هي فن وليس علما تطبيقيا.

فللرياضيات دور بارز في علوم المادّة (أي الفيزياء والكيمياء) وعلم الأحياء (البيولوجيا)، فضلاً عن دوره المتميّز في العلوم الإنسانيّة
بعض فروع قسم الرياضيات
تقسيم أولى لفروع الرياضيات
تنبيه هام: هذا التقسيم لا ينبع من تقويم علمى سليم وإنما ينبع من تهيؤ الكاتب الغير متخصص لما يمكن أن يكون عليه التقسيم، ولذلك تنبغي مراجعته وتصحيحه من قبل المتخصصين.

من الرياضيات البحتة/

من فروع المنطق :
المنطق المجرد.
الجبر المنطقي أو الجبر البولياني وينبع منه
منطق القضايا.
منطق الرتبة الأولى يحتوى هذا الفرع على القواعد والأصول اللازمة لصياغة نظريات الذكاء الاصطناعي وهو يعتمد بدوره على مبادئ المنطق البولياني ومنطق القضايا.
المنطق الوقتي.
المنطق الضبابي.
نظرية الاعتقاد.
المنطق القافي.
من فروع الرياضيات المتقطعة:
اللغات الشكلية ونظرية الآليات
نظرية المخططات وهي دراسة نظم ذات بنية شبكية وتتضمن على دراسة الشبكات وعبور المخططات والشجر وأطياف المخططات وغير ذلك.
نظرية المجموعات المبسطة.
نظرية الأعداد.
من فروع الجبر:
جبر الأعداد الحقيقية (الجبر والمقابلة للخوارزمي).
الجبر المجرد (يشتمل على القواعد المنطقية لحساب مختلف مجموعات الأعداد مثل حساب الأعداد الحقيقية والمركبة إلخ)
نظرية الزمر.
حساب المجموعات (الفئات).
حساب المتتاليات.
حساب المتجهات.
الجبر الخطي.
حساب المصفوفات.
جبر بول
ما وراء الرياضيات : ويشتمل ذلك على سبيل المثال على نظرية جودل وبحوث هيلبرت وبرتراند راسل حول تعريف وتبويب بنية الرياضات بأجمعها.
من فروع الهندسة:
الهندسة الإقليدية.
الهندسة الفراغية.
الهندسة الإسقاطية.
حساب المثلثات.
الهندسة التحليلية.
الهندسة الجبرية.
الهندسة التفاضلية.
الهندسة التضاريسية.
الهندسة التضاريسية لمجاميع النقاط.
الهندسة التضاريسية الجبرية.
نظرية العقد.
من فروع التحليل:
الحساب المتناهي (حساب التفاضل والتكامل).
المعادلات التفاضلية والمعادلات التكاملية.
تحليل الأعداد الحقيقية.
التحليل العددي.
التحليل التوافقي.
التحليل الدالي.
نظرية الدالات أو تحليل الدالات المركبة.
التحليل اللا-قياسي.
نظرية القياس.
من الرياضيات التطبيقية

نظرية الألعاب ولها تطبيقات في الاقتصاد وعلوم الإدارة والتخطيط.
علم الاحتمالات والإحصائيات.
علم النظم
نظرية الشواش والنظم اللا- خطية.
نظرية التحكم الآلي.
علوم الحاسبات الآلية:
نظرية الحوسبة.
تحليل الخوارزميات.
الذكاء الاصطناعي.
التعلم الآلى ويشتمل على
نظريات التعلم التواصلى والشبكات العصبية أو العصبونية.
نظريات التعلم التطورى: البرمجة والخوارزميات الوراثية والتطورية.
الإثبات الآلى للنظريات.
البحث المتوالى والمتوازي وفوز المباريات.
تصميم الدارات المنطقية.
علم المعلومات أو العلوم المعلوماتية.
علم إدارة نظم المعلومات.
علوم البرمجيات.
الاستمثال استمثال تعرف فروع هذا القسم بالبرمجة للإشارة إلى أن المراد هي إيجاد أدنى حلول للمعادلات تحت التحليل مثلا تحليل سيمبلكس.
البرمجة الخطية.
البرمجة الكاملة.
البرمجة المتحركة.
بحوث العمليات.
علوم الطبيعة الرياضياتية : وتشمل على فروع العلوم والنظريات الطبيعية التي تعتمد بالأساس في صياغتها على التحليل والبرهنة الرياضية أكثر من قياس التجارب والظواهر الطبيعية ومنها
نظرية الكم أو النظرية الكمومية أو علم الحركيات الكمية.
الميكانيكا أو الحركيات الإحصائية.
ومنها أيضا دراسة حلول الدالات المجهولة في التصميم الهندسي والصناعي والتي تعتمد على حساب المعادلات التفاضلية التي تصف النظم تحت التصميم.
ميكانيكا هاملتون.
التحليل العددي.
علم الشفرات. علماء رياضيات أو موسوعيون مسلمون/عرب في العصور الوسطى
لعب العلماء العرب والمسلمون دورا كبيرا في تطوير علوم الرياضيات والفلك والفيزياء والتي كانت مترابطة معا بشكل كبير في عصورهم، فالعرب جمعوا من شتى أنحاء المعمورة المعارف الرياضية، وعملوا على الدمج بين المعارف الشرقية والغربية والمحلية، والآثار اليونانية والبيزنطية والهندية والفارسية وغيرها الكثير، بالإضافة إلى إثرائهم لها والإضافة عليها. ويرجع للعرب إضافات مهمة للرياضيات أهمها: تطوير واعتماد الحساب الهندي وهو ما يسمى الآن بالنظام العشري في الترقيم والحساب، وتحويل علم الجبر إلى دراسة لطرق حل المعادلات الجبرية بعد أن كانت معالجة اليونانيين القدماء له ترتكز على دراسة خواص الأعداد.
بعض أعلام الرياضيات/
من أهم مطورى الرياضيات القديمة والحديثة : إقليدس ارخميدس فيثاغورس طاليس الخوارزمي إسحاق نيوتن غوتفريد لايبنتز لابلاس بليز باسكال هنري بوانكاريه جاوس ديفيد هيلبرت ستيفن باناخ ابن الهيثم مايكل عطية ليونارد أويلر كورت غودل جون فون نيومان برنارد ريمان رينيه ديكارت جورج كانتور جورج بول عمر الخيام إيمي نويثر.
_______________________________________________________________________________

الرقم الجامعي/ 431003765

الثلاثاء، 21 ديسمبر، 2010

أصــــــــناف الدوال

أصناف الدوال
• دالة جمعية : قيمة الناتج تساوي مجموع القيم المقابلة للعوامل.
• دالة تحليلية : يمكن تعريفه محليا كمتسلسلة قوى متقاربة
• دالة حسابية : دالة تتوجه من مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة إلى مجموعة العداد العقدية.
• تقابل: وهي دالة غامرة ومتباينة بنفس الوقت.
• دالة تركيب Composition function : من أجل دالتين f وg, تقوم دالة التركيب بإسقاط x إلى f(g(x)).
• دالة مستمرة : الصورة البدئية لمجموعة مفتوحة مفتوحة أيضا.
• دالة مفاضلة Differentiable function : تملك مشتق.
• دالة كلية Entire function : دالة هومومورفية holomorphic function نطاقها هو كامل مجموعة الأعداد العقدية.
• دوال زوجية Even function :الدالة f(x) = f(−x). متناظرة بالنسبة لمحور العينات.
• دالة هولومورفية Holomorphic function : دالة تأخذ قيما عقدية لمتغير عقدي وتكون هذه الدالة قابلة للمفاضلة عقديا عند كل نقطة من مستقرها (نطاقها).
• هوميومورفية Homeomorphism: دالة واحد لواحد مستمرة, تابعها العكسي مستمر.
• تباين دالي Injection, دالة متباينة injective function : المتغيرات المتباينة (المختلفة) لها مقابلات مختلفة حسب هذه الدالة. lso تدعى أيضا دالة واحد لواحد.
• تابع عكسي Inverse function : دالة تقوم بعكس الدالة الأصلية بحيث تقابل نتيجة التابع الأصلي مع القيمة الأساسية.
• دالة أحادية التوجه Monotonic function: يحافظ على الترتيب أو تعكسه.
• دالة شاذة Odd function :الدالة f(−x) = −f(x). متناظرة بالنسبة للأصل.
• دالة واحد لواحد One-to-one function: هي الدالة المتباينة
دوال جبرية
الدوال الجبرية هي دوال من الممكن التعبير عنها بحل لمعادلة متعددة المتحولات فيها ثوابت عددية.
• متعدد الحدود: من الممكن الحصول عليه بالجمع والضرب فقط.
o .
o دالة تكعيبية: متعدد حدود من الدرجة الثالثة.
o دالة ربدالة ثابتة : هي دالة لا تتغير قيمتها مهما كانت قيمة وسيط الدخل.
o دالة خطية : هو متعدد حدود من الدرجة الأولى، يرسم على شكل خط مستقيم.
o دالة تربيعية Quadratic function: متعدد حدود من الدرجة الثانية، مخططه على شكل قطع مكافئاعية Quartic function: متعدد حدود من الدرجة الرابعة.
o دالة خماسية Quintic function: متعدد حدود من الدرجة الخامسة.
• دالة كسرية Rational function: هي أي دالة على شكل كسر متعددي حدود.
• دالة أسية Power functions: أي دالة تكون القوة فيها على شكل كسر.
o دالة جذر
• دالة قطع زائد Hyperbolic functions
• دالة لوغاريتمية
• دالة أسية Power functions
• دوال دورية
o دوال مثلثية
• موجة المنشار Sawtooth wave
• موجة مربعة Square wave
• موجة مثلثية
دوال خاصة
دوال خاصة بسيطة
• دالة المؤشر Indicator function
• دالة خطوية Step function
o دالة الأرضية Floor function
o دالة هيفيسايد الخطوية Heaviside step function
o دالة الإشارة Sign function
• قيمة مطلقة
دوال عددية نظرية
• دالة سيغما Sigma function.
• مؤشر أويلر
• دالة العد الأولي Prime-counting function
• دالة التجزئة Partition function
المشتق العكسي للدوال الابتدائية
• دالة التكامل اللوغاريتمي: Logarithmic integral function.
• دالة التكامل الأسي Exponential integral
• دالة التكامل المثلثي Trigonometric integral
• دالة الخطأ Error function
o تكامل فريسنل Fresnel integral
o دالة داوسون Dawson function
دوال غاما ودوال مرتبطة بها
• دالة غاما Gamma function: هو عبارة عن تعميم لدالة العاملي.
• دالة-ج بارنيس Barnes G-function
• دالة بيتا Beta function.
• دالة ديغاما Digamma function، دالة غاما المتعددة Polygamma function
• دالة بيتا الغير كاملة Incomplete beta function
• دالة بيتا الغير كاملة Incomplete gamma function
• دالة-ك K-function
• دالة غاما متعددة المتحولات Multivariate gamma function:.
• توزيع ستيودنت الاحتمالي
• دالة بيتا الغير كاملة Incomplete gamma function
• دالة-ك K-function
• دالة غاما متعددة المتحولات Multivariate gamma function:.
• توزيع ستيودنت الاحتمالي، دالة غاما المتعددة Polygamma function
• تكامل إهليليجيElliptic integral: وتتضمن
o نموذج كارلسون المتناظر Carlson symmetric form
o نموذج ليغندري Legendre form
• دالة إهليليجية Elliptic function: هو تابع عكس التكامل الإهليليجي يستخدم لتمثيل ظواهر دورية مضاعفة. Weierstrass's elliptic functions and Jacobi's elliptic functions.
• دالة ثيتا Theta function
• شبيهة بنموذج الوحدات الذي يتضمن،
o متغير-ج J-invariant
o دالة ديديكايند إيتا Dedekind eta function
دوال متعلقة بهندسة القطع الناقص
• دوال هندسة القطع الناقص Hypergeometric series
• دالة هندسة القطع الناقص المسايرة Confluent hypergeometric function
• دالة ليغندره المرافقة Associated Legendre function
• دالة ميجير جي Meijer G-Function
دوال أخرى
• دالة لمبدا Lambda function
• دالة لامه Lamé function
• دالة ميتاغ ليفر Mittag-Leffler function
• دالة أسطوانة قطع مكافئ Parabolic cylinder function
• دالة ساينكروتون Synchrotron function
دوال دوال عددية نظرية
• دالة القاسم Divisor function
• مؤشر أويلر
• دالة عداد العدد الأولي Prime-counting function
• دالة التقسيم Partition (number theory)
دوال متنوعة
• دالة أكيرمان Ackermann function
• دالة ديراك دلتا Dirac delta function
• دالة نووير المستمرة Nowhere continuous function
• دالة كرونيكر دلتا Kronecker delta
• دالة علامة استفهام منكوفسكي Minkowski's question mark function
• دالة فيرشتراس Weierstrass function

الثلاثاء، 14 ديسمبر، 2010

دُنـا الحجي

مهارات في الضرب
لتربيع رقم مكون من تسعات فقط بسرعة وبدون ضرب نكتب ابتداءً من اليسار عدد من التسعات اقل بواحد من عدد التسعات الموجودة في العدد ثم نكتب 8 ثم نكتب عدد من الاصفار مساوي لعدد التسعات التي كتبناها ثم نكتب واحد
مثال : 999×999 لتربيع العدد بسرعة بدون ضرب نكتب تسعتين فقط 99 ثم 8 ليصبح العدد 998 ونضيف صفرين يصبح العدد 99800 وأخيراً نضيف 1 ويصبح الناتج النهائي : 998001

لضرب أي عدد من رقمين بالعدد 11
اكتب مجمع الارقام بين الرقمين كالتالي 34×11=374
نلاحظ ان : 3+4=7 وقد وضعنا المجموع 7 بين الرقمين 3و4 عند كتابة الناتج
وعندما يكون المجموع أكبر من 9 نضيف 1 للعدد الأيسر ونضع الآحاد فقط من المجموع بين الرقمين
مثال : 98×11=1078
عند حساب المجموع 9+8=17 نجد انه اكبر من 9 لذلك نضيف 1 الى 9فنحصل على 10 ولكتابة الناتج نضع -آحاد المجموع- 7 بين العددين 8 و 10
لتربيع أي عدد كسري يحتوي 1/2
لتربيع أي عدد كسري يحتوي 1/2  مثل 1/2 5  نضرب العدد الصحيح بالعدد الصحيح الذي يليه ثم نضيف للناتج 1/4
5 1/2 × 5 1/2 = 30 1/4
نضرب الأعداد الصحيحة أولاً 5×6=30 ونضيف 1/4 يصبح الناتج 1/4 30

لضرب عددين متشابهين بكسرين مجموعها يساوي 1مثلاً :( 3/4 4 × 1/4 4 ) نضرب العدد الصحيح بالعدد الصحيح الذي يليه 4×5
ونضرب الكسرين 3/4 × 1/4 = 3/16
فيصبح ناتج الضرب : 3/16 20 أي نضع العدد الصحيح مع الكسر

الاثنين، 13 ديسمبر، 2010

السبت، 11 ديسمبر، 2010

أهميه الرياضيات وعلمه وطرقه .. " الهنوف الدخيل"

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مقدمة :


لعب العلماء العرب والمسلمون دورا كبيرا في تطوير علوم الرياضيات والفلك والفيزياء والتي كانت مترابطة معا بشكل كبير في عصورهم ، فالعرب جمعوا من شتى أنحاء المعمورة المعارف الرياضية ، وعملوا على الدمج بين المعارف الشرقية والغربية والمحلية ، والآثار اليونانية والبيزنطية والهندية والفارسية وغيرها الكثير ، بالإضافة إلى إثرائهم لها والإضافة عليها .
علماء الرياضيات في الحضارة العربية الإسلامية

الخوارزمي | الجوهري | الكندي | حنين | ابن موسى | المهاني | ثابت بن قرة | أحمد بن يوسف | أبو كميل | البطاني | سنان | النيريزي | أبو جعفر الخازن | إبراهيم بن سنان | الأقلديسي | أبو الوفاء | الكوحي | الخجندي | السجزي | ابن يونس | الخراجي | ابن الهيثم | منصور أبو نصر | البيروني | ابن سينا | ابن طاهر البغدادي | الجياني | النساوي | عمر الخيام | جابر بن أفلح | شرف الدين التوزي | ناصر الدين التوزي | محي الدين المغربي | السمرقندي | ابن البنا | الفارسي | الخليلي | قاضي زاده | الكاشي | الأموي | القلاصدي | ابن باجة

الخوارزمي
أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي (أبو جعفر) (حوالي 781- حوالي 845 )، كان من اوائل علماء الرياضيات المسلمين حيث ساهمت اعماله بدور كبير في تقدم الرياضيات في عصره.

الخوارزمي كعالم الرياضيات
ابتكر الخوارزمي مفهوم الخوارزمية في الرياضيات و علم الحاسوب، (مما اعطاه لقب ابي علم الحاسوب عند البعض)، حتى ان كلمة خوارزمية في العديد من اللغات (و منها algorithm بالانكليزية) اشتقت من اسمه، بالاضافة لذلك، قام الخوارزمي باعمال هامة في حقول الجبر و المثلثات والفلك و الجغرافية و رسم الخرائط. ادت اعماله المنهجية و المنطقية في حل المعادلات من الدرجة الثانية الى نشوء علم الجبر، حتى ان العلم اخذ اسمه من كتابه حساب الجبر و المقابلة، الذي نشره عام 830، و انتقلت هذه الكلمة الى العديد من اللغات (Algebra في الانكليزية).
والبيروني
أبو الريحان محمد بن أحمد البيروني ولد في بيرون عاصمة خوارزم(تركستان) حوالي سنة (326هـ،973م و توفي سنة 440هـ،1048م) و اطلق عليه المستشرقون تسمية بطليموس العرب
كان عالم رياضيات و فيزياء وكان له إهتمامات في مجال الصيدلة والكتابة الموسوعية و الفلك والتاريخ. سميت فوهة بركانية على سطح القمر بإسمه إلى جانب 300 إسما لامعا تم إختياره لتسمية الفوهات البركانية على القمر ومنهم الخوارزمي و أرسطو وابن سينا [1]. ولد في خوارزم التابعة حاليا لأوزبكستان والتي كانت في عهده تابعة لسلالة السامانيين في بلاد فارس درس الرياضيات على يد العالم منصور أبو نصر ( 970 - 1036 970 - 1036) وعاصر ابن سينا ( 980 - 1037 980 - 1037) و ابن مسكوويه ( 932 - 1030 932 - 1030) الفيلسوفين من مدينة الري الواقعة في محافظة طهران . تعلم اللغة اليونانية و السنسكريتية خلال رحلاته و كتب باللغة العربية و الفارسية. البيروني بلغة خوارزم تعني الغريب أو الآتي من خارج البلدة، كتب البيروني العديد من المؤلفات في مسائل علمية وتاريخية وفلكية وله مساهمات في حساب المثلثات والدائرة و خطوط الطول والعرض، ودوران الأرض و الفرق بين سرعة الضوء وسرعة الصوت،هذا بالإضافة إلى ما كتبه في تاريخ الهند [2] .إشتهر ايضا بكتاباته عن الصيدلة و الأدوية كتب في أواخر حياته كتاباً أسماه "الصيدنة في الطب" وكان الكتاب عن ماهيات الأدوية ومعرفة أسمائها.

وثابت بن قره
ثابت بن قرة بن مروان (221 هـ/836 م - 26 صفر 288 هـ/19 فبراير 901 م) عالم عربي اشتهر بالفلك والرياضيات والهندسة والموسيقى ولد في حران سنة 221 هـ وتوفي في بغداد سنة 288 هـ.

كنيته أبو الحسن كان على مذهب الصابئة. كان من المقربين إلى المعتضد حيث قدمه إليه الخوارزمي المعروف.


نظرية فيثاغورث :
للمثلث القائم الزاوية خاصية ينفرد بها عن بقية المثلثات برهنا الفيلسوف اليوناني الشهير ـ فيثاغورث ـ 580 قبل الميلاد ـ وقد عرفت باسمه رغم أنها كانت معروفة ومطبقة عمليا لدى قدماء المصريين والبابليين والهنود قبل عصر فيثاغورث
نص نظرية فيثاغورث
في المثلث القائم الزاوية يكون مربع طول الوتر مساويا مجموع مربعي طولي ساقيه


((اساليب التفكير السليم في الرياضيات))
يصادف الفرد دوما في حياته اليومية بعض الأمور التي تحتاج منه وقفة ليفكر فيها وقد تطول هذه الوقفة إذا كان الأمر صعبا أو غير واضح فيكون هذا الأمر بالنسبة له بمثابة مشكلة تؤرقه إلى أن يجد لها الحل المعقول وهذا لا يختلف كثير ا بالنسبة للتلميذ أثناء دراسته بالمدرسة إذا عليه أن يقف أمام بعض المشكلات التي تعترضه أثناء دراسته ليفكر فيها وبالطبع لن يستريح طالما لم يسيطر على الموقف تماما بعني انه لن يهدا باله ما لم يجد الحل الصحيح والمناسب للمشكلات التي يقابلها أو المفروضة عليه أن يدرسها وبصفة عامة فان أهم ما يميز الإنسان( سواء كان مواطنا عاديا أو متخصصا في أي مجال أو طالبا في أية مرحلة دراسية ) عن سائر الكائنات والمخلوقات هو قدرته على التفكير الذي وهبه الله إياه وعليه تكون إحدى واجبات التربية الحديثة هي تنمية التفكير العقلي للفرد ليكون اكثر قدرة على حل مشكلاته ومن ثم يستطيع بسهولة أن يواجه متطلبات حياته على المدى القصير والبعيد وبذلك تسهم التربية في تكوين المواطن الصالح ذي الشخصية المتكاملة الجوانب
لذا كان من أهم أهداف تدريس الرياضيات الحديثة تدريب الطلاب على أساليب التفكير السليم . وسوف نعرض هنا أهم مميزات التفكير السليم وأنواعه وكيفية تدريب الطلاب على استخدامه 0

لماذا الرياضيات؟

إن للرياضيات من المميزات من حيث المحتوى ومن الطريقة ما يجعلها مجالا ممتازا لتدريب التلاميذ على أنماط أساليب التفكير السليم .
وينبعث ذلك من الخصائص التالية :
1) إن الرياضيات لغة تمتاز عن اللغة المعتادة بدقة التعبير ووضوحه وإيجازه .
2) إن الرياضيات من حيث الموضوع لها مميزات خاصة في تنمية التفكير الموضوعي وذلك ببروز الناحية المنطقية ولوضوح حقائقها وخلوها من العوامل العاطفية التي تؤثر في استخلاص النتائج .
3) الرياضيات هي الطريق إلى التفكير في هذا العالم فهي اللغة التي تتكلم بها العلوم الطبيعية
4) الرياضيات تعتمد اعتمادا كليا على اللغة الدقيقة والمنطق الرياضي السليم وتعمل على تعليم الطالب التفكير السليم والعمل القويم



مميزات التفكير السليم
1) لا يتأثر بالانفعال أو العاطفة ولا يخضع للأهواء الشخصية والآراء الذاتية لأنه يقوم على الحقائق وعلى التعبير والروية وعدم الاندفاع .
2) أنه لا يقبل رأياً إلا إذا قام الدليل على صحته وأثبتت الأساليب المختلفة من مشاهدة وتجارب ومعلومات أنه رأي سليم.
3) إن اكتساب الأساليب السليمة في التفكير يؤدي بالفرد إلى الحيوية فيتسع صدره للنقد البناء ويتقبل آراء غيره بل ويعدل آراءه في ضوء ما يثبت من حقائق وما يجد من براهين.وفي هذا المجال فانه ينتفع بنتائج التفكير وبما يصل إليه الآخرون من آراء علمية سليمة .
4) إن هذه الأساليب تؤدي إلى المرونة وتجعل الإنسان يتخلص من الجمود.
5) تهيئة الطالب لحل مشاكل المجتمع بشكل واسع وسريع
6) تعويد الطالب على الدقة في التعبير وعلى التخطيط السليم
7) تعين الطالب على الابتعاد عن مز الق الارتجال والتخبط



أساليب التفكير السليم

أولاً: التفكير التأملي :
ونقصد به أن يتأمل الطالب الموقف الذي أمامه ويحلله إلى عناصره ويرسم الخطط اللازمة لفهمه حتى يصل إلى النتائج التي يتطلبها هذا الموقف ثم يقوم هذه النتائج في ضوء الخطط التي وضعت له .
ويبدأ التفكير التأملي عندما يشعر الإنسان بالارتباك إزاء مشكلة يواجهها أو مسألة يود حلها فيعمل على تحديد المشكلة وفرض فروض الحل ومحاولة اختبارها .
مثال: إذا تعرضنا لتمرين هندسي مطلوب فيه إثبات أن قطعتين مستقيمتين متساويتان . فيجب فرض الفرضين التاليين
والتأكد من صحتهما أو صحة أحدهما على الأقل :
أ‌) هل القطعتان المستقيمتان هما ضلعان في شكل هندسي منتظم ؟

ب‌) هل القطعتان المستقيمتان هما ضلعان متناظران في مثلثين متطابقين ؟
وفي ضوء اختبار صحة الفرضين السابقين تكون نقطة البداية للحل الصحيح .
ولكي يكتسب الطلاب هذا النوع من التفكير يجب :
1- التأمل في رأس المسألة أي قراءتها قراءة واعية دقيقة حتى يتأكد من أن العبارات والمصطلحات الرياضية التي تحتويها مألوفة لديهم .

2- أن يفحص الطالب عبارات المسألة جيداً لتحديد البيانات المعطاة فيها ثم تحديد ما هو المطلوب إيجاده ( أي التمييز بين المعطيات والمطلوب ) .
3- أن يختار المعلم الطريقة المناسبة التي يساعد بها الطالب على أن يحدد العمليات التي ينبغي إجراؤها وترتيبها لحل المسألة وذلك عن طريق مناقشته للطريقة المناسبة لطبيعة المسألة والتي توضح للتلميذ الرؤية في اختيار العمليات التي توصل إلى الحل السليم .
4- أن تقوّم الطريقة التي اتبعت في حل المسألة وهل هي مناسبة أم هناك طريقة أفضل . وإذا اتضح أثناء مناقشة وتسجيل الحل بعض الأخطاء عند التلاميذ فيجب على المعلم أن يتعرف على أسبابها وكيفية علاجها ثم يوجه طريقته وجهة أخرى تؤدي إلى تجنيب التلاميذ الوقوع فيها

ثانياً: التفكير الناقد:
ويعني تكوين عادة الامتناع عن إصدار الأحكام إلا إذا اكتملت الأدلة وعدم الاعتماد على الميول الخاصة والتحيز لجهة معينة أو لشخص ما .
ولتدريب الطلاب على هذا الأسلوب التفكيري :1- ينبغي أن يناقش المعلم تلاميذه في صحة كل خطوة من خطوات حل المسألة .
2- يمكن استخدام مسائل وتمارين تحتوي على معلومات زائدة أو لا تحتوي على جميع البيانات والمعلومات اللازمة للحل .
وهذا النوع من التمارين يفيد في تأكيد ضرورة التفكير الناقد
وعدم محاولة استخدام جميع المعلومات الموجودة على نحو آلي حتى لا يصدر الحل على أساس أدلة غير سليمة



ثالثاً:التفكير العلاقي:
وهو يقوم على إدراك العلاقات بين العوامل المختلفة في المواقف أو المشكلة التي تواجه الفرد والمسألة الرياضية تحتوي على عدد من العناصر إذا أدرك التلميذ العلاقة بينها إدراكا سليماً أدى ذلك إلى الحل السليم.
ولكي يتدرب الطالب على هذا النوع هذا النوع من التفكير :
1-ينبغي على المعلم عند تقديمه مسألة رياضية أن يعطي لطلابه الفرصة المناسبة لقراءتها وتأملها .
2-رسم خطة مناسبة لمناقشة الطلاب في طريقة الحل وطريقة التحليل للمسألة .
3- تدريب الطلاب على إدراك العلاقات المختلفة بين عناصر كل خطوة وبين الخطوات بعضها البعض واكتشاف أخطاء الاستدلال التي تقوم على عدم إدراك صحيح لهذه العلاقات .
رابعاً: التفكير الدقيق
إن من أهم ما ينبغي أن يكتسبه الطالب من دراسة الرياضيات المهارة في استخدام التفكير الدقيق في حل ما يواجهه من مشكلات ومواقف اجتماعية .
ولكي يتدرب الطلاب على هذا النوع من أساليب التفكير:
1- يجب على المعلم أن يكون القدوة الحسنة في التعبير عن أفكاره بكل دقة .
2- يجب أن يطلب المعلم من طلابه الدقة في التفكير والتعبير سواء في مناقشتهم الشفهية أو في الأعمال التحريرية .
خامساً: التفكير الاستقرائي
يعتمد هذا النوع من التفكير على استنتاج حالات عامة من عدة حالات خاصة. ويستخدم هذا النوع من التفكير كثيراً في الهندسة العملية في استنتاج العلاقة بين حالات المستقيمات المتوازية وفي إثبات تساوي الزاويتين المتقابلتين بالرأس وفي إيجاد مجموع زوايا المثلث وغيرها .مثال: للوصول إلى مجموع زوايا المثلث تساوي 5180 نرسم مثلثات مختلفة ( حادة- منفرجة- قائمة) ونقيس مجموع زوايا المثلث في كل حالة فإذا كان المجموع 5180 وكانت هذه النتيجة هي نفسها التي توصل إليها أفراد مختلفون بمثلثات مختلفة فإننا نستنتج القاعدة ( مجموع زوايا المثلث تساوي 5180).

ولكي يتدرب الطلب على هذا النوع من الأساليب :
1- يجب ألا يغالي المعلم في استخدامه فيعتمد عليه كوسيلة للبرهان ولكن ينبغي أن يستخدمه كوسيلة جيدة يمكن عن طريقها الكشف عن ما بين الموضوعات من علاقة متشابكة .
2-يجب على المعلم أن يحرص ألا يقع الطلاب في الوصول إلى تعميمات خاطئة ناتجة من الحالات الخاصة غير الكافية .
3-يجب أن يوضح المعلم للطالب عند استنتاجه قاعدة معينة بأنه لا يمكن تعميم هذه القاعدة إلا إذا تم استنتاجها من جميع طلاب الفصل وجميع الفصول في المدرسة والمدارس المختلفة وهكذا ...)

سادساً: التفكير الاستدلالي
ويعتمد هذا الأسلوب من التفكير على استنتاج حالات خاصة من حالات عامة . فالقوانين الرياضية تعتبر أسسا عامة والمسائل التي تشتمل على هذه القوانين تعتبر حالات خاصة وكذلك النظريات الهندسية تعتبر قاعدة عامة وكل تمرين هندسي يعتبر حالة خاصة .
ولكي يتدرب الطالب على هذا النوع من الأساليب :
1- يجب أن يوضح المعلم أن كل خطوة من خطوات التفكير الاستدلالي لابد وأن تكون مدعمة بقضية صحيحة.
2- توضيح أن أي خطوة غير مدعمة لا تعتبر صحيحة . فمثلاً لإثبات أن القوس أ س= القوس ب ص ينبغي التحقق من أحد الشروط التالية :
أ‌- قياس الزاوية المركزية التي تقابل القوس أ س = قياس الزاوية المركزية التي تقابل القوس ب ص .
ب‌- قياس الزاوية المحيطية التي طول قوسها أ س = قياس الزاوية المحيطية التي طول قوسها ب ص.
ج- طول الوتر أ س= طول الوتر ب ص .

سابعاً: التفكير الحدسي
هو الخاص بالاكتشاف الرياضي، و الاكتشاف الرياضي يمر بمراحل منها :
1-مرحلة التحضير: وهي المرحلة الخاصة بالملاحظة والتجريب .
2-مرحلة المعالجة الرياضية والعمل الدائب المتواصل إلى الحل أو الكشف الجديد .
3-مرحلة التحضين: ويتم في آخرها عن طريق التفكير الحدسي ( وهو ببساطة التفكير التخميني للحل دون أن يعرف سببه) .
4-مرحلة تحقيق النتيجة التي توصل إليها عن طريق البرهان الرياضي والمنطق.
5-مرحلة التطبيق.
ثامنا:أسلوب حل المشكلات
نعني بحل المشكلة التعرف على وسائل وطرائق للتغلب على العوائق التي تعترض الوصول إلى الهدف وتوظيفها بنجاح للوصول إليه وهناك خطوات لحل المشكلة تتمثل فيما يلي :
1-تحليل المشكلة وفهم ما بها من معلومات وعلاقات ورموز وأشكال وغير ذلك
2- وضع خطة الحل:فرض الفروض للحل واختبار هذه الفروض لتحديد ما يقود منها لحل المشكلة وجمع مزيد من المعلومات عنه
3- تنفيذ خطة الحل:استخدام الفرض الذي يقود إلى حل المشكلة
4-التأكد من صحة الحل
مثال:ثلاثة أعداد متتالية أصغرها س ومجموعها 321 فما هي الأعداد؟
يطلب المعلم من الطالب قراءة المسالة بتأن ويترك لهم الفرصة والوقت الكافي للتفكير في الحل ثم يبدأ المناقشة على النحو التالي :
-من يعرف ما معنى الأعداد المتتالية ؟
-يطلب من أحد الطلاب أن يذكر ثلاثة أعداد طبيعية متتالية ويناقش طالب ثاني أو ثالث إذا اخفق الاول
-يطرح بعض المجموعات ويطلب من الطلاب تحديد المتتالية منها
-اذا كان أصغر هذه الأعداد هو س فكم تكون الأعداد التالية
- ومن خلال المناقشة بين المعلم والطلاب وتوضيح الخطأ لمن يخطأ ويترك فرصة للتفكير وتصحيح الخطأ
ثم يسأل الطلاب عن المشكلة في هذه المسألة ويساعدهم على استنباط الفرض بأن الأعداد الثلاثة تكون على النحو التالي :
س ، س+1 ، س+2 ويكون مجموعهم يساوي 3س+3
3س+3=321 ومنها نستنتج أن س= 106
ثم يطلب من أحد الطلاب تحديد الأعداد الثلاثة المتتالية (106،107،108)
وفي النهاية يطلب من أحد الطلاب أن يتحقق من صحة النتيجة التي وصل إليها زميله(106+107+108=321)
كيف يساعد المدرس تلاميذه في اكتساب المهارة في ممارسة وأسلوب حل المشكلات:
-فهم معاني الألفاظ والتعبيرات الواردة في المسالة
-فهم العلاقات العامة في المسالة والعلاقات داخل كل جزء منها على حده
-القدرة على التعبير عن مضمون المسالة بلغة الطالب
-تصور المسالة تصورا ذهنيا وتمثيلها بالمحسوسات والأشكال الهندسية كلما أمكن0

وبصفة عامة

حتى يمارس الطلاب أساليب التفكير السابقة من خلال دراسة الرياضيات يحاول معلم الرياضيات تحقيق ما يلي :
1) ممارسة الطالب لأساليب التفكير المختلفة السابقة ممارسة عملية داخل الفصل وخارجه
2) إدراك الطالب لحدود الثقة في النتائج التي يصل إليها باستخدام كل أسلوب من أساليب التفكير .
3) إدراك الطالب للفرق بين القضايا مطلقة التعميم والقضايا محدودة التعميم .
4) تأكد الطالب من صحة القضايا التي يعتمد عليها في تفكيره .
5) مراجعة الطالب للنتيجة التي وصل إليها في ضوء القضايا المعطاة والموثوق في صحتها
6) إن يزود المعلم الطالب بتمارين تحتاج إلى تفكير واستنتاج
7) تنمية موهبة الطالب على البحث وراء الأسباب والتعليلات لما يقرا وتطور حاسة الحدس لديه
8) تنمية فكرة الابتكار لنظريات جديدة حول بعض المفاهيم الرياضية
9) التأكيد بان الرياضيات ليست مجرد حلول مسائل ولكن علاوة على ذلك فإنها
فلسفة وطريقة تفكير رياضية

الخلاصة

· إن الأساليب السابقة لا يمكن فصلها إذ قد يستخدم المعلم أثناء شرحه أكثر من أسلوب والذي يعنينا أنه عن طريق هذه الأساليب كل منها منفرداً أو باجتماع كل اثنين منها أو أكثر هو إكساب الطلاب التفكير الفعال في مواجهة المشاكل في مجال دراسة الرياضيات.
· أن هذه الأساليب تساعدهم على البرهنة وحل المسائل وهذا يدخل في نطاق الإبداع والاختراع . فالطالب أثناء حله للمسألة يكون كالفنان المبدع إذ يمارس المتعة واللذة والألم التي يمارسها الفنان في عملية الإبداع .
· وتصل عملية الحل إلى قمتها والى ذروتها في اللحظة التي تتجمع فيها العناصر في أماكنها المناسبة في المجال المباشر للتفكير فيظهر الحل فجأة عند هذه اللحظة فإن التحليل يسبقها ويأتي بعدها التركيب .
· بالإضافة إلى ذلك فان التفكير الفعال الذي يمكن أن يكتسبه الطالب عن طريق الأساليب السابقة يساعده في حل مشكلاته اليومية أي لم يعد الأمر يقتصر فقط على استخدام هذه الأساليب في حل مسائل الرياضيات ولكنه يصبح سمة مميزة تلازم الطالب ويستخدمها في حل المشكلات التي تصادفه والتي تحتاج إلى الوصول بواسطة الحقائق المعطاة إلى الهدف عن طريق دراسة الحقائق والعلاقات ودراسة الهدف المطلوب ورسم الخطة لعبور الفجوة بين المعطيات والمطلوب واختيار الوسائل اللازمة لذلك وفي والتأكد من الوصول إلى الهدف المنشود.

الجمعة، 10 ديسمبر، 2010

مبرهنة فيثاغورس

الصيغة الهندسية لمبرهنة فيثاغورس
مبرهنة فيثاغورس هي مبرهنة في الهندسة الإقليدية، تقول أنه في أي مثلث قائم الزاوية يكون مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر. سميت هذه المبرهنة على العالم فيثاغورس الذي كان رياضيا، وفيلسوفا، وعالم فلك في اليونان القديمة.

محتويات

[أخف]

[عدل] المبرهنة

[عدل] مبرهنة فيثاغورس المباشرة

وهي الشكل الأكثر شهرة لمبرهنة فيثاغورس:
« في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة. »
Rtriangle.svg
في مثلث ABC قائم الزاوية في C، أي أن [AB] هو الوتر، نضع AB=c و AC=b و BC=a. لدينا:
BC^2+AC^2=AB^2\,
أو
a^2+b^2=c^2\,
تمكن مبرهنة فيثاغورس من حساب طول أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية بمعرفة طولي الضلعين الآخرين. مثلا: إذا كان b=3 و a=4 فإن
a^2+b^2=3^2+4^2=25=c^2\,
ومنه c = 5\,.
مثلوث ثلاثة أعداد صحيحة تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية، مثل (5 ،4 ،3)، يسمى مثلوث فيثاغورس.

[عدل] مبرهنة فيثاغورس العكسية

نص مبرهنة فيثاغورس العكسية (العبارة 47 من الجزء الأول من كتاب العناصر لإقليدس):
« في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، والضلع الأطول هو الوتر. »
مبرهنة فيثاغورس هي خاصية مميزة للمثلث القائم الزاوية. بتعبير آخر:
« في مثلث ABC، إذا كان AC²+BC²=AB² فإن هذا المثلث قائم الزاوية في C.»

[عدل] تاريخ المبرهنة

عرفت خاصية فيثاغورس في العصور القديمة، والدلائل على ذلك ما زالت موجودة إلى الآن. يكفي مثلا أن نلاحظ الحبل ذا ثلاث عشرة عقدة الذي كان المسّاحون المصريون يستعملونه والذي نجد له صورا في عدة تصاوير للأعمال الزراعية. يسمح هذا الحبل، علاوة على قياس المسافات، بإنشاء زوايا قائمة دون الحاجة إلى جيب التمام، إذ تسمح العقد الثلاث عشرة (والمسافات الاثنتي عشرة الفاصلة بين العقد) من إنشاء مثلث أبعاده (5 ،4 ،3)، مثلث يتضح أنه قائم الزاوية. ظل هذا الحبل أداة هندسية طيلة العصور الوسطى.
أقدم تمثيل لمثلوثات فيثاغورس (مثلث قائم الزاوية وأطوال أضلاعه أعداد صحيحة طبيعية) نجده في الميغاليثات (2500 سنة قبل الميلاد). كما أظهرت آثار البابليين (لوحة Plimpton، حوالي سنة 1800 قبل الميلاد) أنه قبل ظهور فيثاغورس بأكثر من 1000 سنة، عرف المهندسون وجود مثلوثات فيثاغورس.
لكن بين اكتشاف الخاصية «نلاحظ أن بعض المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية»، تعميمها «يبدو أن كل المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية» وإثباتها «كل المثلثات القائمة الزاوية (فقط) في المستوى الإقليدي تحقق هذه الخاصية» عدة أجيال.
برهان بصري لمثلث أطوال أضلاعه (3، 4، 5) في كتاب Chou Pei Suan Ching (القرن الثاني-القرن الخامس قبل الميلاد)
ندرة الدلائل التاريخية تجعلنا غير قادرين على نسب المبرهنة إلى فيثاغورس بشكل قاطع، مع أننا على يقين بأنه صاحبها. أول برهان مكتوب نجده في كتاب العناصر لإقليدس بالصيغة التالية:
« في المثلثات القائمة الزاوية، مربع طول الضلع المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. »
مع صيغتها العكسية: « إذا كان مربع طول ضلع في مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين قائمة. »
ومع ذلك، فتعليقات Proclus على كتاب العناصر لإقليدس (حوالي 400 سنة بعد الميلاد) تشير إلى أن إقليدس لم يقم سوى بإعادة تدوين برهان قديم نسبه Proclus إلى فيثاغورس.
إذن، يمكننا أن نؤرخ البرهان على هذه الخاصية ما بين القرن الثالث والقرن السادس قبل الميلاد. يحكى أنه في تلك الفترة اكتشفت الأعداد اللاجذرية. بالفعل، يمكن بسهولة إنشاء مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين طول أحدهما 1، فيكون مربع طول الوتر هو 2. برهان بسيط أيام فيثاغورس يثبت أن العدد 2 ليس مربعا لعدد جذري. يقال أن هذا الاكتشاف تم إبقاؤه سرا من طرف المدرسة الفيثاغورسية تحت تهديد بالقتل.
إلى جانب هذه الاكتشافات، يبدو أن هذه المبرهنة عرفت في الصين أيضا. نجد إشارة إلى وجود هذه المبرهنة في واحد من أقدم المؤلفات الصينية في الرياضيات، كتاب Zhoubi suanjing. هذا المؤلف، كتب على الأغلب في Han Dynasty (أعظم الفترات في تاريخ الصين)، (206 قبل الميلاد، 220 سنة بعد الميلاد) يضم التقنيات المستعملة في فترة Zhou Dynasty. (القرن العاشر قبل الميلاد، 256 قبل الميلاد). نجد برهان هذه الخاصية، التي تحمل في الصين اسم مبرهنة جوجو Gougu (القاعدة والارتفاع)، في كتاب Jiuzhang suanshu (الفصول التسعة في فن الرياضيات، 100 سنة قبل الميلاد، 50 سنة بعده)، برهان مختلف كليا عن برهان إقليدس.
كما نجد في الهند برهانا عدديا للخاصية يعود إلى القرن الثالث قبل الميلاد (برهان باستعمال أعداد خاصة، لكن يمكن تعميمه بسهولة).
رغم أنها خاصية هندسية، إلا أنها أخذت منحى حسابيا عند البحث عن جميع مثلوثات أعداد صحيحة طبيعية تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية: أي مثلوثات فيثاغورس. هذا البحث فتح الباب لبحث آخر: البحث عن المثلوثات التي تحقق an + bn = cn، بحث قاد إلى مظنونة فيرما التي تم حلها سنة 1994 على يد الرياضي (بالإنكليزية: Andrew Wiles).
توجد في الحقيقة العديد من البراهين على هذه الخاصية، مثل برهان إقليدس، وبرهان الصينيين، مرورا ببرهان الهنود، وبرهان دا فينشي وحتى برهان الرئيس الأمريكي (بالإنكليزية: James Abram Garfield). كما لا يفوتنا ذكر الكاشي الذي عمم هذه المبرهنة على كل المثلثات: مبرهنة الكاشي.

[عدل] براهين

بلا شك، هذه المبرهنة لديها أكبر عدد معروف من الإثباتات (كما هو الحال بالنسبة لخاصية Quadratic reciprocity). ها هي بعض منها:

[عدل] برهان إقليدس

PPythagore2.png
قبل البرهنة على خاصية فيثاغورس، يجب إثبات عبارتين. العبارة الأولى التي يجب إثباتها (العبارة 35 من الجزء الأول من كتاب العناصر) هي تساوي مساحتي متوازيي أضلاع لهما نفس القاعدة ونفس الارتفاع:
« متوازيات الأضلاع التي لها قاعدة مشتركة، ومحصورة بين نفس المستقيمين المتوازيين، لها نفس المساحة. »
لنعتبر متوازيي الأضلاع ABCD و BCFE، لديهما قاعدة مشتركة [BC]، ومحصوران بين المتوازيين (BC) و(AF)، لاحظ أن AD=BC (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع ABCD)، و BC=EF (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع BCFE)، وبالتالي AD=EF.
توجد ثلاثة حالات فقط (مبينة في الشكل جانبه) لموضع النقطة E بالنسبة إلى D : يمكن أن توجد E على يسار D، منطبقة على D أو على يمين D. سندرس كل حالة:
1. إذا كانت E على يسار D فإن [ED] مشتركة بين كل من [AD] و[EF]، ومنه نستطيع التحقق من أن المسافتين AD و EF متساويتين. لاحظ أن الضلعين [AB] و[DC] متقايسان (لأنهما قاعدتان متقابلتان في متوازي الأضلاع ABCD)، والنقط D، E، A و F مستقيمية، الزاويتان [\widehat{BAE}] و[\widehat{CDF}] متقايستان. كنتيجة لهذا فالمثلثان BAE و CDF متقايسان، لأن لهما ضلعان متقايسان والزاويتان المحصورتان متقايستان. إذن، متوازيي الأضلاع ABCD و CBEF ليسا سوى ترتيبين مختلفين من شبه المنحرف BEDC والمثلث BAE (أو CDF).
2. إذا كانت E منطبقة على D، سنجد بطريقة مشابهة أن المثلثين BAE و CDF متقايسان، وأنه من الممكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD و BCFE بإضافة المثلث BAE (أو CDF) إلى المثلث المشترك BCD.
3. إذا كانت E على يمين D، لدينا AD=EF، وبإضافة DE لكل منهما نجد أن AE=DF. وبطريقة مشابهة لتلك التي إستعملناها في 1 و 2، يمكن أن نبين أن المثلثين BAE و CDF، وأيضا شبهي المنحرف BADG و CGEF، متقايسان. إذن من الواضح أنه يمكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD و CBEF عن طريق إضافة المثلث المشترك BCG إلى شبه المنحرف BADG (أو CGEF).
استبدال متوازي أضلاع بمتوازي أضلاع آخر له نفس القاعدة والارتفاع يعرف في الرياضيات باسم القص. هذا الأخير مهم جدا في إثبات العبارة التالية:
PPythagore3.png
« إذا كان لمتوازي أضلاع ولمثلث نفس القاعدة، ومحصورين بين مستقيمين متوازيين، فإن مساحة متوازي الأضلاع هي ضعف مساحة المثلث. »
لنعتبر متوازي أضلاع ABCD، ولتكن E نقطة من نصف المستقيم (AD] ولا تنتمي إلى القطعة [AD]. نريد إثبات أن مساحة ABCD هي ضعف مساحة BEC. بعد رسم القطر [AC]، نلاحظ أن مساحة ABCD هي ضعف مساحة ABC. ولدينا مساحة ABC تساوي مساحة BEC (لأن لهم نفس القاعدة). إذن ضعف مساحة BEC هي ضعف مساحة ABC، أي ABCD. ومنه مساحة ABCD هي ضعف مساحة BEC المثلث.
PEuclide.png
نستطيع الآن متابعة البرهان:
نعتبر مثلثا ABC قائم الزاوية في A. لتكن ABFG ،ACIH و BCED مربعات الأضلاع AB ،AC و BC على التوالي. لتكن J نقطة تقاطع (BC) و(AK). نريد إثبات أن مساحة BCED تساوي مجموع مساحتي ABFG و ACIH. يمكننا هذا عن طريق إثبات أن مساحة المربع ABFG تساوي مساحة المستطيل BJKD، وأن مساحة المربع ACIH تساوي مساحة المستطيل CEKJ.
لإثبات المتساوية الأولى، يمكن أن نلاحظ أن المسافتين FB و BC تساويان AB و BD على التوالي. لأن الزاويتان [\widehat{ABF}] و[\widehat{CBD}] متقايستان، والزاويتان [\widehat{FBC}] (لاحظ أن \widehat{FBC}=\widehat{FBA}+\widehat{ABC}) و\widehat{ABD} (لاحظ أن \widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}) متقايستان. كنتيجة، لدينا المثلثان FBC و ABD متقايسان. لاحظ أيضا أنه حسب العبارة XLI، مساحة المربع ABFG هي ضعف مساحة المثلث FBC وأن مساحة المستطيل BJKD هي ضعف مساحة المثلث ABD. بما أن المثلثين ABD و FBC متقايسان، فإن مساحة ABFG تساوي مساحة BJKD.
نحصل على المتساوية الثانية بطريقة مشابهة: بملاحظة أن IC و CB يساويان AC و CE على التوالي، وأن الزاوية [\widehat{ICB}] تقايس الزاوية [\widehat{ACE}]، نحصل على أن المثلثين ICB و ACE متقايسان. وعلما أن مساحة المربع ACIH هي ضعف مساحة المثلث ICB وأن مساحة المستطيل CEKJ هي ضعف مساحة ACE، وبما أن المثلثين ICB و ACE متقايسان، فإن مساحة ACIH تساوي مساحة CEKJ.
وبالتالي، مساحة BCED تساوي مساحة مجموع مساحتي BJKD و CEKJ، أي مجموع مساحتي ABFG و ACIH. وتكون مبرهنة فيثاغورس حالة خاصة لمبرهنة كليرو.

[عدل] برهان جوجو

لغز جوجو
تمت إعادة صياغة مبرهنة جوجو Gougu إنطلاقا من تعليقات وملاحظات الرياضي الصيني Liu Hui (القرن الثالث بعد الميلاد) على كتاب « الفصول التسعة في فن الرياضيات » (206 قبل الميلاد، 220 بعده) وعلى كتاب Zhoubi Suanjian « ظل الدوائر، كتاب في Calculus » (كتاب في علم الفلك).
هذا البرهان يعتمد على مبدأ لعبة اللغز Puzzle: مساحتان متساويتان بعد تقطيع وتركيب. يذكر أن إقليدس استعمل نفس المبدأ (القص) تقريبا. في الشكل جانبه، المثلث القائم الزاوية مرسوم بلون غامق، مربع أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة رسم خارج المثلث، بينما نقوم بالعكس بالنسبة للضلعين الآخرين.
المثلث الأحمر يقايس المثلث البدئي. طول أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة في المثلث الأصفر يساوي طول أصغر ضلع في المثلث البدئي، وزوايا هذين المثلثين متقايسة. طول أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة في المثلث الأزرق يساوي فرق طولي ضلعي الزاوية القائمة للمثلث البدئي وزواياهما متقايسة أيضا.

[عدل] البرهنة باستعمال الجداء السلمي (المتجهات)

ليكن ABC مثلثا قائم الزاوية في A
\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{CB}^2=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2
CB^2=AB^2+AC^2-2.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
بما أن ABC قائم الزاوية في A فإن \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0
ومنه BC2 = AB2 + AC2

[عدل] برهان حديث

Pythagoralg.png
لنعتبر مثلثا قائم الزاوية حيث قياسات أضلاعه هي b ،a و c. نقوم بنسخ المثلث ثلاث مرات بحيث يشكل كل ضلع طوله a مستقيما مع ضلع طوله b لمثلث آخر. نحصل في الأخير على مربع طول ضلعه a+b، كما في الصورة.
لنحسب مساحة المربع المحدد بالأضلاع ذات الطول c. بالطبع المساحة هي c²، وتساوي أيضا فرق مساحة المربع الكبير ذو الضلع a+b ومجموع مساحات المثلثات الأربع. مساحة المربع الكبير هي ²(a+b) لأن طول ضلعه هو a+b. ومجموع مساحات المثلثات هي أربع مرات مساحة مثلث واحد، أي 4(ab/2)، إذن الفرق هو (a+b)²-4(ab/2) بالتبسيط a²+b²+2ab-2ab أي a²+b². بهذا نكون قد برهنا على أن مساحة المربع ذو الضلع c تساوي a²+b²، أي a²+b²=c². Pythagorean proof.svg
توجد طرق عديدة أخرى لإثبات مبرهنة فيثاغورس، حتى الرئيس الأمريكي الواحد والعشرون جيمس جارفيلد (بالإنكليزية: James Garfield) برهن، بطريقة قريبة من الطريقة السابقة، على مبرهنة فيثاغورس.

[عدل] أشكال أخرى للمبرهنة

[عدل] استلزامها المضاد للعكس

نص الاستلزام المضاد للعكس:
« إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ABC تحقق BC^2 \ne AB^2+AC^2\,\! فإن المثلث ABC ليس قائما في النقطة A. »
رغم أن الاستلزام المضاد للعكس يكافئ منطقيا المبرهنة المباشرة، إلا أن استعماليهما مختلفان: فمبرهنة فيثاغورس المباشرة تستعمل لحساب طول ضلع مثلث قائم الزاوية بدلالة طولي الضلعين الآخرين، في حين أن استلزامها المضاد للعكس يستعمل لإثبات كون مثلث (قياسات أضلاعه معلومة) ليس قائم الزاوية.

[عدل] الاستلزام المضاد للعكس للخاصية العكسية

يقول ما يلي: « إذا كان المثلث ABC ليس قائم الزاوية في A فإن BC^2 \ne AB^2+AC^2\,\! »

[عدل] تعميم على أشكال هندسية أخرى غير المربعات

مبرهنة الهلالين
عمم إقليدس مبرهنة فيثاغورس في كتابه العناصر (العبارة 31، الجزء VI من كتاب العناصر):
« في المثلثات القائمة الزاوية، مساحة شكل مرسوم على الوتر، يساوي مجموع مساحتي الشكلين المشابهين له المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة. »
بتعبير آخر: « إذا أنشأنا أشكالا متشابهة على أضلاع مثلث قائم الزاوية، فإن مساحتي الشكلين الصغيرين تساوي مساحة الشكل الكبير. »
هذه الخاصية تسمح لنا بالبرهنة على أن مساحة مثلث تساوي مجموع مساحتي الهلالين المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة: مبرهنة الهلالين.

[عدل] استعمالاتها

 \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2}
إذا كانت (xb,ya) إحداثيتا نقطة C في نفس المعلم، فإن المثلث ACB قائم الزاوية في C. المسافتان CA و CB معلومتان:
CA = | xbxa |
CB = | ybya |
بينما تمثل المسافة AB طول وتر المثلث ACB.
 \sqrt{\sum_{k=1}^{k=n}{(x_k-y_k)^2}}
  • تعمم مبرهنة فيثاغورس على التبسيطات ذات الأبعاد الكبيرة. إذا كان لرباعي أوجه ركن قائم (ركن من مكعب)، فإن مربع مساحة الوجه المقابل للركن، يساوي مجموع مربعات مساحات الأوجه الثلاثة الأخرى. تعرف هذه المبرهنة أيضا باسم مبرهنة Gua.