الأحد، 26 ديسمبر، 2010

Ceva's Theorem


سيفا Ceva, Giovanni 1648-1734, رياضي إيطالي تخصص في الهندسة وقد عرف واشتهر بنظريته التي نعرضها الآن. نظرية[م] سيفا ذات صيغة جميلة ولها العديد من النتائج التي سنتطرق لها مع ترك براهينها للقاريء مع تقديم التلمحيات الكافية له.



نظرية 1 (سيفا): إذا كان ABC مثلث وكانت D,E,F ثلاث نقاط على الأضلاع المقابلة لرؤوسه A,B,C على الترتيب فإن المستقيمات AD, BE, CF تتقاطع[م] في نقطة واحدة P إذا وفقط إذا كان











البرهان:

مقسم إلى ثلاثة أقسام متشابهة, كل قسم يختص بضلع وبالأربعة مثلثات التي قواعدها جزء منه.

لنبدأ بالضلع BC. بالنسبة للمثلثين BPD, PDC فإن لهما ارتفاع مشترك وليكن h. إذا رمزنا للمساحة بالرمز مرفقا به اسم المثلث[م] فإن







بالمثل المثلثان BAD, ADC لهما ارتفاع مشترك وليكن g. إذا







إذا ومن خصائص التناسب









بالمثل فيما يتعلق بالمثلثات التي قواعدها جزء من CA نجد أن









وكذلك فيما يتعلق بالمثلثات التي قواعدها جزء من AB نجد أن









بضرب هذه التناسبات الثلاث يثبت الجزء الضروري من النظرية.



لاثبات الكفاية افرض أن ولتكن P نقطة تقاطع AD, BE. ارسم المستقيم AP والذي يقابل الضلع BC في نقطة D'. سنثبت أن D=D'. من القسم الأول من هذا الإثبات









إذا ومنه , أي أن







وبالتالي D'C=DC وبالتالي D=D' وبذلك يثبت شرط الكفاية.





نتيجة1: الارتفاعات في مثلث تلتقي في نقطة واحدة.

للإثبات ارسم الارتفاعات من A,B,C لتلاقي الأضلاع في D,E,F على الترتيب ومن خلال تطابق المثلثات استنتج التناسبات
مي منصور العيدان/n2

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق