الجمعة، 31 ديسمبر، 2010

Definitions on Function - الاء المآضي

Definitions on Function




Subjects to be Learned

function
domain, codomain
image
image of set
range
sum of functions
product of functions
one-to-one function (injection)
onto function (surjection)
one-to-one onto function (bijection)
inverse function
composite function
Contents

A function is something that associates each element of a set with an element of another set (which may or may not be the same as the first set). The concept of function appears quite often even in nontechnical contexts. For example, a social security number uniquely identifies the person, the income tax rate varies depending on the income, the final letter grade for a course is often determined by test and exam scores, homeworks and projects, and so on.
In all these cases to each member of a set (social security number, income, tuple of test and exam scores, homeworks and projects) some member of another set (person, tax rate, letter grade, respectively) is assigned.
As you might have noticed, a function is quite like a relation. In fact, formally, we define a function as a special type of binary relation.

Definition (function): A function, denote it by f, from a set A to a set B is a relation from A to B that satisfies
for each element a in A, there is an element b in B such that is in the relation, and
if and are in the relation, then b = c .
The set A in the above definition is called the domain of the function and B its codomain.
Thus, f is a function if it covers the domain (maps every element of the domain) and it is single valued.

The relation given by f between a and b represented by the ordered pair is denoted as f(a) = b , and b is called the image of a under f .
The set of images of the elements of a set S under a function f is called the image of the set S under f, and is denoted by f(S) , that is,
f(S) = { f(a) | a S }, where S is a subset of the domain A of f .
The image of the domain under f is called the range of f .

For properties of function in general click here for optional reading material.

Example: Let f be the function from the set of natural numbers N to N that maps each natural number x to x2 . Then the domain and codomain of this f are N, the image of, say 3, under this function is 9, and its range is the set of squares, i.e. { 0, 1, 4, 9, 16, ....} .

Definition (sum and product): Let f and g be functions from a set A to the set of real numbers R.
Then the sum and the product of f and g are defined as follows:

For all x, ( f + g )(x) = f(x) + g(x) , and
for all x, ( f*g )(x) = f(x)*g(x) ,
where f(x)*g(x) is the product of two real numbers f(x) and g(x).

Example: Let f(x) = 3x + 1 and g(x) = x2 . Then ( f + g )(x) = x2 + 3x + 1 , and ( f*g )(x) = 3x3 + x2

Definition (one-to-one): A function f is said to be one-to-one (injective) , if and only if whenever f(x) = f(y) , x = y .

Example: The function f(x) = x2 from the set of natural numbers N to N is a one-to-one function. Note that f(x) = x2 is not one-to-one if it is from the set of integers(negative as well as non-negative) to N , because for example f(1) = f(-1) = 1 .

Definition (onto): A function f from a set A to a set B is said to be onto(surjective) , if and only if for every element y of B , there is an element x in A such that f(x) = y , that is, f is onto if and only if f( A ) = B .

Example: The function f(x) = 2x from the set of natural numbers N to the set of non-negative even numbers E is an onto function. However, f(x) = 2x from the set of natural numbers N to N is not onto, because, for example, nothing in N can be mapped to 3 by this function.

Definition (bijection): A function is called a bijection , if it is onto and one-to-one.

For properties of surjection, injection and bijection click here for optional reading material.

Example: The function f(x) = 2x from the set of natural numbers N to the set of non-negative even numbers E is one-to-one and onto. Thus it is a bijection.

Every bijection has a function called the inverse function.

These concepts are illustrated in the figure below. In each figure below, the points on the left are in the domain and the ones on the right are in the codomain, and arrows show < x, f(x) > relation.





Definition (inverse): Let f be a bijection from a set A to a set B. Then the function g is called the inverse function of f, and it is denoted by f -1 , if for every element y of B, g(y) = x , where f(x) = y . Note that such an x is unique for each y because f is a bijection.

For example, the rightmost function in the above figure is a bijection and its inverse is obtained by reversing the direction of each arrow.

Example: The inverse function of f(x) = 2x from the set of natural numbers N to the set of non-negative even numbers E is f -1(x) = 1/2 x from E to N . It is also a bijection.

For properties of inverse function click here for optional reading material.

A function is a relation. Therefore one can also talk about composition of functions.

Definition (composite function): Let g be a function from a set A to a set B , and let f be a function from B to a set C . Then the composition of functions f and g , denoted by fg , is the function from A to C that satisfies
fg(x) = f( g(x) ) for all x in A .

Example: Let f(x) = x2 , and g(x) = x + 1 . Then f( g(x) ) = ( x + 1 )2 .

For properties of composite function click here for optional reading material.

الاء الماضي- 1to1correspondence

In mathematics, one-to-one correspondence refers to a situation in which the members of one set (call it A) can be evenly matched with the members of a second set (call it B). Evenly matched means that each member of A is paired with one and only one member of B, each member of B is paired with one and only one member of A, and none of the members from either set are left unpaired. The result is that every member of A is paired with exactly one member of B, and every member of B is paired with exactly one member of A. In terms of ordered pairs (a,b), where a is a member of A and b is a member of B, no two ordered pairs created by this matching process have the same first element and no two have the same second element. When this type of matching can be shown to exist, mathematicians say that "a one-to-one correspondence exists between the sets A and B." Any two sets for which a one-to-one correspondence exists have the same cardinality, that is they have the same number of members. On the other hand, a one-toone correspondence can be shown to exist between any two sets that have the same cardinality, as can easily be seen for finite sets (sets with a specific number of members). For example, given the sets A = and B = a one-toone correspondence can be established by associating the first members of each set, then the second members, then the third, and so on until each member of A is associated with a member of B. Since the two sets have the same number of members no member of either set will be left unpaired. In addition, because the two sets have the same number of members, there is no need to pair one member of A with two different members of B, or vice versa. Thus, a one-to-one correspondence exists. Another method of establishing a one-to-one correspondence between A and B is to define a one-to-one function. For example, using the same sets A and B, the function that associates each member of A with a member in B that is twice as big is such a function. This type of function is called a one-to-one function because it is reversible. In mathematical terminology, its inverse is also a function. It could just as well be defined so it maps each member of B onto a unique member of A by associating with each member of B that member of A that is half its value.

One-to-one functions are particularly useful in determining whether a one-to-one correspondence exists between infinite sets (sets with so many members that there is always another one). For example, let X be the set of all positive integers, X =, (the three dots are intended to indicate that the listing goes on forever), and let Y be the set of odd positive integers Y =. At first glance, it might be thought that the set of odd positive integers
has half as many members as the set of all positive integers. However, every odd positive integer, call it y, can be associated with a unique positive integer, call it x, by the function f(x) = y = (2x-1). On the other hand, every positive integer can be associated with a unique odd positive integer using the inverse function, namely x=(1/2)(y+1).

The function f is a one-to-one function and so a oneto-one correspondence exists between the set of positive integers and the set of odd positive integers, that is, there are just as many odd positive integers as there are positive integers all together. Carrying this notion further, the German mathematician, George Cantor, showed that it is also possible to find a one-to-one correspondence between the integers and the rational numbers (numbers that can be expressed as the ratio of two whole numbers), but that it is not possible to find a one-to-one correspondence between the integers and the real numbers (the real numbers are all of the integers plus all the decimals, both repeating and nonrepeating). In fact, he showed that there are orders of infinity, and invented the transfinite numbers to describe them.

الخميس، 30 ديسمبر، 2010

إتصـال الدوال التحليليه

يقال عن داله f أنها متصله عند النقطه إذا حققت الشروط التاليه الأتيه

1_ موجوده


2_
لـها وجود
أي " f مـعـرفـه عند "


3_
أي أن لكل عدد موجب
يوجد عدد موجب
بحيث ...
طالما كان

ملاحظه

** داله المتغير المركب متصله في المنطقه R إذا كانت متصله عند كل نقطه من نقاط هذه المنطقه

**_دالة المتغير المركب تكون متصله عند النقطه

إذا وفقط كانت مركباتيها uوv داله متصله هناك

**_إذا كان هناك دالتان متصلتان عند نقطه فإن مجموعهما وحاصل ضربهما داله متصله عند نفس النقطه
كما أن حاصل قسمة دالتين متصلتين عند نقطه هو داله متصله عند نفس النقطه بشرط أن المقام لايساوي صفر ..

**_ كثيرة الحدودداله متصله في المستوى المركب بأكمله

مثال

داله متصله في المستوى المركب بأكمله لأن مركبتيها كثيرتي حدود في x و y هي متصله عند كل نقطه (x,y)


وجدان الشبرين

الدوال

في الرياضيات، تعتبر التوابع المثلثية أو الدوال المثلثية دوال لزاوية هندسية، و هي دوال مهمة عندما نريد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية. يمكن تعريف هذه الدوال ك نسبة لأضلاع مثلث قائم الذي يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية كإحداثيات على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية unit circle . في الرياضيات ، الدوال المثلثية هي دوال ترتبط بالزاوية، وهي مهمة في دراسة المثلثات وتمثيل الظواهر المتكررة (كالموجات). ويمكن تعريف الدوال المثلثية على أنهم نسب بين ضلعين في مثلث قائم فيه الزاوية المعنية، أو ، وبشكل أوسع. كنسبة بين إحداثيات نقاط على دائرة الوحدة، ويعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات ان الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي) ، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.
أنواع الدوال المثلثية

توجد ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:
جا أو الجيب ، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر.
جتا أو جيب التمام ، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر.
ظا أو الظل ، ويساوي النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.
اسم التابع الاختصار العلاقة جيب sin أو جب أو جا تجيب أو جيب تمام cos ، تجب أو جتا ظل tan ، طل أو ظا تظل أو ظل تمام cot ، تظل أو ظتا Secantأو قاطع sec أو قا Cosecant أو قاطع تمام csc أو قتا [عدل] علاقات مثلثية




هيا الملحم

المتباينات

لتوفير دعما كاملا لOLE، تضمنت نسخة 32-بت من دلفي نوع بيانات متباين Variany.هنا أريد أن أناقش نوع البيانات هذا من زاوية عامة. نوع متباين، في الواقع، أصبح له تأثير متزايد على كامل اللغة، لدرجة أن مكتبة مكوّنات دلفي تستخدم هذا النوع بطرق ليس لها علاقة ببرمجة OLE.

المتباينات ليس لها نوع
بصفة عامة، يمكنك استعمال المتباينات لتخزين أي نوع بيانات و لانجاز مختلف العمليات و تحويلات النوع. لاحظ أن هذا ضد التوجّه العام للغة باسكال و ضدّ أعراف البرمجة الجيدة. المتباين يتم فحص نوعه و يتم حسابه في وقت التشغيل. المجمّع compiler لن يحذرك من احتمالات الأخطاء في التوليف، و التي لن يستدلّ عليها إلا بعد اجراء اختبارات مكثفة. بصورة عامة، يمكنك اعتبار أجزاء التوليف التي تستخدم المتباينات هي لتوليف ترجمة فورية interpreted، لأنه، مثل أي توليف لترجمة فورية، العديد من العمليات لا يمكن التقرير بشأنها وحلّها إلى في وقت التشغيل. هذا يوثر بصفة خاصة في سرعة التوليف.

الآن و قد حذرتك من استخدام نوع المتباين، حان الوقت لرؤية ماذا يمكنه أن يفعل. أساسا حالما تقوم بتعريف متغير متباين مثل التالي:

var
V: Variant;يمكنك أن تخصّص له عدة أنواع مختلفة:

V := 10;
V := 'Hello, World';
V := 45.55;حالما تتحصل على قيمة متباين، يمكنك نسخه إلى أي نوع بيانات آخر متوافق أو غير متوافق. إذا خصصت قيمة لنوع بيانات غير متوافق، تقوم دلفي بإجراء التحويل، إذا استطاعت ذلك. و إلا فإنها ستصدر خطأ وقت التشغيل. في الواقع المتباين يخزن معلومات النوع رفق البيانات، لتسمح بعدد من العمليات في وقت التشغيل؛ هذه العمليات قد تكون مفيدة لكنها بطيئة و غير مأمونة.

أنظر إلى المثال التالي (اسمه VariTest)، و الذى هو توسيع للتوليف أعلاه. قمت بوضع ثلاث خانات كتابة على نموذج form جديد، و اضفت بعض الأزرار، ثم كتبت التوليف التالي لحدث OnClick للزرّ الأول:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
V: Variant;
begin
V := 10;
Edit1.Text := V;
V := 'Hello, World';
Edit2.Text := V;
V := 45.55;
Edit3.Text := V;
end;أمر مضحك، أليس كذلك؟ فبجانب تخصيص متباين يحوي جملة إلى سمة Text في مكون خانة الكتابة، يمكنك تخصيص متباين يحوي رقما صحيحا أو رقم نقطة عائمة إلى نفس سمة Text.

الشكل 10.1: ناتج مثال VariTest بعد الضغط على زرّ Assign



أسوأ من هذا، يمكنك استخدام المتباينات لحساب القيم، كما تري في التوليف المتصل بالزرّ الثاني:

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var
V: Variant;
N: Integer;
begin
V := Edit1.Text;
N := Integer(V) * 2;
V := N;
Edit1.Text := V;
end;كتابة مثل هذا التوليف فيه مخاطرة، أقلّها، إذا احتوت خانة الكتابة الأولى على رقم، فكل شيء سيعمل، غير ذلك، سيبرز اعتراض exception. مرّة أخرى يمكنك كتابة توليف مشابه، لكن في حالة عدم وجود سبب ضاغط، يجب أن تتجنب نوع المتباين؛ تشبت بأنواع بيانات باسكال التقليدية و بأسلوب تفحّص النوع. في دلفي و في مكتبة المكونات المرئية VCL، تستخدم المتباينات أساسا لدعم تقنية OLE و لمناولة حقول قواعد البيانات.

المتباينات، نظرة أعمق
تتضمّن دلفي نوع تسجيلة متباينة variant record type و هي، TVarData، والذي له نفس توزيع الذاكرة الذي لنوع متباين Variant. يمكنك استعماله للوصول إلى النوع الفعلي للمتباين. بنية TVarData تتضمن نوع المتباين هذا، مشار إليه بحقل VType، و بعض الحقول المحجوزة، و القيمة الفعلية.

القيم المحتملة لحقل VType تتطابق مع أنواع البيانات التي يمكنك استعمالها في آلية OLE، و التي غالبا ما تسمّى بأنواع OLE أو أنواع متباينة. فيمل يلي سرد أبجدي كامل لأنواع المتباين المتوفرة:

varArray
varBoolean
varByRef
varCurrency
varDate
varDispatch
varDouble
varEmpty
varError
varInteger
varNull
varOleStr
varSingle
varSmallint
varString
varTypeMask
varUnknown
varVariant
يمكنك ايجاد أوصاف هذه الأنواع في موضوع VarType function في نظام مساعدة دلفي.

هناك أيضا العديد من الوظائف من أجل العمليات على المتباينات يمكنك استخدامها لصنع تحويلات معينة أو لطلب معلومات عن النوع الذي يحمله المتباين (انظر، مثلا، وظيفة VarType). معظم تحويلات النوع و وظائف التخصيص هذه فعليا يتم استدعاؤها بصورة آلية عندما تكتب تعبيرات تستخدم فيها المتباينات. إجرائيات أخرى تدعم نوع متباين (راجع موضوع Variant support routines في ملف المساعدة) تقوم أيضا بعمليات على المصفوفات المتباينة.

المتباينات نوع بطئ!
التوليف الذي يستخدم نوع متباين سيكون بطئ، ليس فقط عندما تقوم بتحويل أنواع البيانات، و لكن أيضا عندما تجمع قيم متباينين يحمل كلاهما عددا صحيحا. هي تقريبا بطيئة مثلها مثل التوليف المترجم لفيجوال بيسك! من أجل مقارنة سرعة خوارزمية مبنية على المتباينات مع أخرى بتوليف مشابه و معتمد على أعداد صحيحة، يمكنك النظر إلى مثال VSpeed:

هذا البرنامج ينفذ حلقة loop، مع قياس سرعتها، عارضا حالته في قضيب انجاز progress bar. فيما يلي أولى الحلقتين المتشابهتين، المبنيتين على الأعداد الصحيحة و المتباينات:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
time1, time2: TDateTime;
n1, n2: Variant;
begin
time1 := Now;
n1 := 0;
n2 := 0;
ProgressBar1.Position := 0;
while n1 < 5000000 do
begin
n2 := n2 + n1;
Inc (n1);
if (n1 mod 50000) = 0 then
begin
ProgressBar1.Position := n1 div 50000;
Application.ProcessMessages;
end;
end;
// we must use the result
Total := n2;
time2 := Now;
Label1.Caption := FormatDateTime (
'n:ss', Time2-Time1) + ' seconds';
end;توليف قياس الوقت يستحق النظر، لأنه شيئ يمكنك تطويعه بسهولة لأي نوع من اختبارات الأداء. كما ترى، يستخدم البرنامج وظيفة Now للحصول على قيمة الوقت الحالي و وظيفة FormatDateTime لعرض الفرق في الوقت، طالبين فقط الدقائق ("n") و الثواني ("ss") في الجملة المصاغة. كبديل، يمكنك استخدام وظيفة API ويندوز GetTickCount، و التي ترجع مؤشر دقيق جدا لمقدار جزء من ألف من الثانية قد مرّت منذ أن بدأ نظام التشغيل.

في هذا المثال فرق السرعة حقيقة كبير جدا لدرجة تلاحظها حتى بدون قياس دقيق للوقت. على كل حال، يمكن رؤية النتائج على حاسوبي الخاص في الشكل 10.2. القيم الفعلية تعتمد على الحاسوب الذي تستخدمه لتشغيل هذا البرنامج، لكن التناسب لن يتغير كثيرا.

الشكل 10.2: فرق السرعات لنفس الخوارزمية، مبنية على أعداد صحيحة و على المتباينات (الوقت الفعلي يتباين من حاسوب لآخر)، كما هو معروض من قبل مثال VSpeed



وجدان محمد الشبرين

الثلاثاء، 28 ديسمبر، 2010


خواص المتباينات (1) :

المقارنة بين عددين حقيقيين مختلفين

الهدف : أن يستقرئ الدارس العلاقة التالية :
1. إذا كان أ ، ب عددين حقيقيين مختلفين ، فإن :
أ < ب فقط إذا كان : أ – ب < صفر ..... ونقول: أ > ب فقط إذا كان هنالك عدد حقيقي موجب جـ بحيث أ ـ جـ = ب .

2. إذا كان أ ، ب عددين حقيقيين مختلفين ، فإن :
أ > ب فقط إذا كان : أ – ب > صفر ..... ونقول:
أ > ب فقط إذا كان هنالك عدد حقيقي موجب د بحيث أ + د = ب .

الإجراءات والأنشطة :
مثال (1) : كيف يُمكننا المقارنة بين العددين 5 ، 3 ؟؟
أ- لندرس العبارة (5 – 3) :
5 – 3 = 2 ، 2 عدد حقيقي موجب < صفر . \ (5 – 3) < صفر. هل هنالك عدد حقيقي موجب (جـ) بحيث 5 – جـ = 3 ؟؟؟ حسناً ، 5 – 2 = 3 . نقول : 5 . >
3
3 أو
< 5 5 عدد حقيقي موجب أكبر من الصفر . 3 عدد حقيقي موجب أكبر من الصفر . . . < 3 < 5 ب- والآن ماذا عن (3 – 5) ؟؟ 3 – 5 = -2 ، -2 عدد حقيقي سالب > صفر .
\ (3 – 5) > صفر.
هل هنالك عدد حقيقي موجب (جـ) بحيث 3 + جـ = 5 ؟؟؟
نعم يوجد عدد موجب هو العدد (2) : أي أن جـ = 2

هنادي الخيبري
n2

تطابق مثلثات, صفات المثلثات وصفات الاشكال الرباعية

تطابق مثلثات, صفات المثلثات وصفات الاشكال الرباعية

*المثلثات :

(1) منصف زاوية الرأس بمثلث متساوي الساقين ينصف ايضاً القاعدة ويكون عامودي عليها.

(2) بالمثلث – يقابل الاضلاع المتساوية زوايا متساوية , والعكس صحيح .
• اذا كان المثلث هو مثلث متساوي الساقين إذاً الزوايا المجاورة للقاعدة متساويتين.
• (جملة عكسية) : اذا كان بالمثلث زاويتين متساويتين إذاً المثلث هو مثلث متساوي الساقين.

(3) بالدالتون (الدالتون هو مثلث متساوي الساقين مزدوج) , المستقيم الواصل بين زوايا الرأس في المثلثات المتساوية الساقين ينصف زوايا الرأس, وينصف القطر الثاني ويكون عامودي عليه.

(4) الزاوية الخارجية في المثلث اكبر من أي زاوية داخلية ما عدا المجاورة لها. (وتساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورة لها) .

(5) بالمثلث – يقابل الزاوية الكبيرة في المثلث الضلع الكبير . والعكس صحيح .

(6) مجموع أي ضلعين في المثلث اكبر من الضلع الثالث , والفرق بين أي ضلعين اصغر من الضلع الثالث.

(7) تطابق المثلثات :

(أ‌) يتطابق المثلثين اذا تساويا بضلعين والزاوية المحصورة بينهما (ض,ز,ض) .
(ب‌) يتطابق المثلثين اذا تساويا بضلع والزاويتين المجاورتان له (ز,ض,ز) .
(ت‌) يتطابق المثلثين اذا تساويا بالثلاثة اضلاع (ض,ض,ض).
(ث‌) يتطابق المثلثين اذا تساويا بضلعين والزاوية المقابلة للضلع الكبير من بينهما (ض,ض,ز).

(8) (أ) في المثلث المتساوي الساقين المتوسطان للساقين متساويين. (المتوسط للضلع هو المسنقيم الذي يخرج من احد رؤوس المثلث وينصف الضلع المقابل له ( انصاف الكميات المتساوية متساوية)).
(ب) بالمثلث المتساوي الساقين الارتفاعات على الساقين متساوية.
(ج) منصفات زوايا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساوية .





** خطوط متوازية :


(9)اذا اعطيا خطين مستقيمان قطعهما مستقيم ثالث ينتج زوج من :
زوايا متناظرة متساوية او زوايا متبادلة متساوية او زوايا على نفس الجهة من القاطع اللتان مجموعهما يساوي 180 .
كان المستقيمان متوازيان.

(10)اذا قطع مستقيم ثالث مستقيمين متوازيين اثنين ينتج :
(أ‌) الزوايا المتناظرة متساوية.
(ب‌) الزوايا المتبادلة متساوية
(ت‌) مجموع الزوايا التي على نفس الجهة من القاطع يساوي 180.

(11) (أ) زوايا التي ساقيهما متوازية بالتلائم هي متساوية ومكملة ل 180 . (أي لدينا زاويتين ساقين هذين الزاويتين متوازيين بالتلائم اذا هاتين الزاويتين متساويتين و مجموعهما يساوي 180)
(ب) زوايا التي ساقيهما معامدة بالتلائم هي متساوية ومكملة لـ 180.
(12) مجموع الزوايا الداخلية للمثلث مساوية لـ 180.

(13) الزاوية الخارجية في المثلث مساوية لمجموع الزاويتين الداخليتين ما عدا الزاوية المجاورة لها.(ملاحظة : كل زاوية خارجية بالمثلث تكمل الزاوية الداخلية الملتصقة بها لـ 180)

(14) مجموع الزوايا الداخلية لمضلع له n اضلاع هو : 180 * (n-2)
ملاحظات :
(أ‌) مجموع كل الزوايا الخارجية بكل مضلع يساوي 180 .
(ب‌) اذا كان المضلع منتظم اذاً كل زواياه متساوية ولذلك كل زواياه تساوي : (180/n) * (n-2)
للتذكير : بالمضلع كا واحدة من الزوايا اصغر من 180 .





أشكال رباعية :




(15) تعريف متوازي الاضلاع :
هو شكل رباعي فيه كل ضلعين من متقابلين متوازيين .

(16) شكل رباعي الذي فيه كل ضلعين متقابلين متساويين هو متوازي اضلاع . (جملة عكسية : بمتوازي الاضلاع كل ضلعين متقابلين متساويين )

(17) شكل رباعي الذي فيه ضلعان متقابلين متوازيان ومتساويان هو متوازي اضلاع .

(18) اقطار متوازي الاضلاع ينصف احدهما الاخر . ( جملة عكسية : في شكل رباعي اقطاره تنصف بعضها البعض اذا هو متوازي اضلاع) .

(19)(أ) اقطار المستطيل متساوية . (والعكس : متوازي اضلاع الذي فيه اقطار متساوية هو مستطيل . )
ملاحظة : ( اذا كانت اقطار شكل رباعي متساوية ومنصفة لبعضها البعض اذا هذا الشكل الرباعي هو مستطيل ).
(ب) اذ بمتوازي الاضلاع احدى الزوايا تساوي لـ 90 درجة اذا متوازي الاضلاع هو مستطيل .

(20) (أ) الاقطار بالمعين تنصف زوايا المعين , (والعكس : متوازي الاضلاع الذي اقطاره منصفة لزواياه هو معين )
(ب) الاقطار بالمعين تعامد بعضها البعض . (والعكس : متوازي اضلاع الذي اقطاره معامدة لبعضها هو معين).

(21) شبه المنحرف المتساوي الساقين اقطاره مساوية لبعضها والزاويتين المجاورتين لكل قاعدة متساويتين .

(22) (أ) بمثلث قائم الزاوية وبه زاوية حادة مساوية لـ 30 درجة العامود القائم المقابل لهذه الزاوية يساوي نصف الوتر .

(ت‌) اذا بمثلث قائم الزاوية احد الاضلاع القوائم يساوي نصف الوتر , اذا اذا الزاوية المقابلة للضلع القائم تساوي 30 درجة .

(23) (أ) بمثلث قائم الزاوية المتوسط للوتر يساوي نصف الوتر.
(ب) اذا بالمثلث المتوسط للضلع يساوي نصفه اذا المثلث هو مثلث قائم الزاوة (جملة عكسية) .

(24) القطع المتوسط بالمثلث ( القطعة التي توصل وسط ضلعين في المثلث ) هو موازي للضلع الثالث ويساوي نصفه .

(25) قطعه التي تنصف ضلع بالمثلث , وتوازي للضلع الثاني – ينصف الضلع الثالث. (جملة عكسية لرقم 24)

(26) (أ) قطع متوسط بشبه المنحرف موازي للقاعدتين ومساوي لنصف لمجموعهما.
(ب) القطعه المنصفه للساق بشبه منحرف وموازية لقاعدتي شبه المنحرف تنصف ايضاً الساق الثاني لشبه المنحرف .

(27) نقاط الالتقاء لاثنين من المتوسطات بالمثلث يقسم كل متوسط لقسمين حيث ان القسم الخارج من زاوية الراس يكون ضعفي القسم الاخر . (اي يقسم كل مستقيم بنسبة 1:2)






القسم الثاني :
الدائرة
الاوتار والزوايا بالدائرة :



(1) (أ) نصف القطر العامودي على الوتر بالدائرة ينصفه .
(ب) جملة عكسية : نصف القطر الذي ينصف الوتر يكون عامودي عليه.

(2) (أ)الاوتار المتساوية بالدائرة تبقى بابعاد متساوية عن مركز الدائرة .
(ب) جملة عكسية : اذا ابعاد الاوتار عن مركز الدائرة متساوية فان الاوتار متساوية.

(3) (أ) اذا تباينت الاوتار في الدائرة تباين ابعادها عن المركز . (بحيث ان اكبرها هو اقربها عن المركز) .
(ب) جملة عكسية : الوتر الاقرب من مركز الدائرة هو الاكبر.

• الزاوية المحيطية : هي الزاوية التي رأسها على المحيط واضلاعها هم اوتار الدائرة .
• الزاوية المركزية : هي زاوية التي رأسها في مركو الدائرة واضلاعها انصاف اقطار في الدائرة .

(4) الزاوية المحيطية في الدائرة تساوي نصف الزاوية المركزية الواقعة على نفس الوتر .

(5) (أ) يقابل الزوايا المركزية المتساوية في الدائرة اوتار متساوية (اقواس متساوية) في نفس الدائرة او في الدوائر المتساوية نفس طول القطر ونصف القطر.
(ب) جملة عكسية : يقابل الاوتار المتساوية زوايا مركزية متساوية .

(6) (أ) يقابل الزوايا المحيطية المتساوية في نفس الدائرة اقواس متساوية و اوتار متساوية .
(ب) جملة عكسية : على اقواس متساوية بالدائرة ينتج زوايا محيطية متساوية .
جملة عكسية : على اوتار متساوية بالدائرة تكون الزوايا المحيطية او الزوايا المركزية مجموعهما 180.


* ( النظريات (5) , (6) تتحقق اذا كانت الزوايا بنفس الدائرة او بدائرتين منفردتين متساويتين (لهما نفس نصف القطر ))


(7) (أ) الزاوية المحيطية الواقعة على القطر تساوي 90 درجة .
(ب) جملة عكسية : الزاوية المحيطية التي تساوي 90 درجة تكون مقابلة للقطر في الدائرة .

(8) قوس الدائرة هي المحل الهندسي للنقطة التي يُرى منها الوتر , التي تكون عليه , بنفس الزاوية .


(9) الزاوية المحصورة بين وترين اللذان يتقاطعان بداخل الدائرة (زاوية داخلية) تساوي نصف مجموع الاقواس المحصورات بين ضلعي الزوايا وامتدادهن.

(10) الزاوية المحصورة بين وترين اللذان امتداددهما يتقاطعان خارج الدائرة (زاوية خارجية) يساوي نصف الفرق بين الاقواس اللمنقسمان من الدائرة بواسطة اضلاع الزوايا .





مــــــــــــــماس الدائـــــــــــــــــرة :


(11)

(أ) المماس للدائرة عامودي على نصف القطر في نقطة التماس .
(ب) جملة عكسية : المستقيم العامودي على نصف القطر في طرفه يكون مماس للدائرة .

(12) المماسان الخارجان من نفس النقطة متساويان .

(13) الزاوية المحصورة بين مماس ووتر مشتركان في نقطة تساوي الزاوية المحيطية الواقعة على نفس الوتر من الجهة الثانية .

مضلعات تحصر دائرة ومضلعات تنحصر في دائرة :

(14) (أ) الشكل الرباعي الذي يحصر دائرة فيه مجموع كل ضلعين متقابلين متساويين .
(ب) جملة عكسية : شكل رباعي الذي فيه مجموع كل ضلعين متقابلين متساويين يمكن ان ينحصر في دائرة .

(15) (أ) في الشكل الرباعي المحصور داخل دائرة مجموع كل زاويتين متقابلتين متساوي ويساوي 180 درجة .
(ب) جملة عكسية : شكل رباعي الذي فيه مجموع كل زاويتين متقابلتين متساوي ويساوي 180 درجة يمكن حصره داخل دائرة .

(16) كل مضلع منتظم يمكن حصره داخل دائرة ويمكن حصر دائرة داخله وللدائرتين نفس المركز .



دائــــــــــــــرتين :



(17) الدائرتين التي تشترك في نقطة واحده تسمى دائرتين متماستين والمستقيم الواصل بين مركزي الدائرتين يسمى بخط المركزين ويمر من نقطة التماس .

(18) خظ المركزين لدائرتين متقاطعتين يكون عامودي على الوتر المشترك وينصفه .




المحلات الهندسية و نقاط خاصة بالمثلث :


(1) العامود المتوسط لقطعة معينة هو المحل الهندسي لجميع النقاط التي تبعد بابعاد متساوية عن اطراف القطعة .

(2) الاعمدة المتوسطة في المثلث تلتقي في نقطة واحدة وهذه النقطة تسمى مركز الدائرة التي تحصر المثلث .

(3) الارتفاعات الثلاثه بالمثلث تلتقي بنقطة واحدة (لكن هذه النقطة غير معرفة بالمثلث )

(4) منصف الزاوية هو المحل الهندسي لجميع النقاط التي تبعد بابعاد متساوية عن ساقي الزاوية .

(5) منصفات الزوايا الثلاثة في المثلث تلتقي في نقطة واحدة وهذه النقطة تسمى مركز الدائرة المحصورة داخل المثلث .

.....................


مكان مركز الدائرة التي تحصر مثلث حسب نوع المثلث :



(نظرية عامة :
نقطة تلاقي الاعمدة المنصفة لاضلاع المثلث تمثل مركز الدائرة التي تحصر المثلث . )

*في مثلث حاد الزاوية الاعمدة المنصفة الثلاثة تلتقي بمركز الدائرة بداخل المثلث .
** في مثلث قائم الزاوية ثلاثة الاعمدة المنصفة تلتقي بمركز الدائرة الموجودة في وسط الوتر (في هذه الحالة ,,,, وتر المثلث = قطر الدائرة ) .
*** في مثلث منفرج الزاوية الاعمدة المنصفة الثلاثة تلتقي بمركز الدائرة الموجوده خارج المثلث .



المساحات :
+ المحيط + تعريفات :



المثلث :مساحة المثلث : ( القاعدة * الارتفاع)/2
او
1/2 * (حاصل ضرب ضلعين من اضلاعه) * (الزاوية المحصورة بينهما )Sin

المحيط : مجموع اضلاعه الثلاثة .

..................

المربع :هو عبارة عن شكل رباعي جميع زواياه قوائم وكذلك جميع اضلاعه متساوية ,
مساحة المربع : مربع طول ضلعه أي الضلع ضرب نفسه
المحيط : اربعة اضعاف طول ضلعه او مجموع الاضلاع الاربع .
اقطار الربع : متعامدة أي تصنع فيما بينها زاوية قائمة وتنصف بعضها البعض .
نقطة التقاء القطرين في المربع هي عبارة عن مركز الدائرة التي تحصر المربع فعليه تكون انصاف اقطار الربع بمثابة الدائرة المذكورة , اذا جميع الانصاف متساوية .

..........................

شبه المنحرف :
هو عبارة عن شكل رباعي فيه زوج من الاضلاع المتقابلة متوازية .
محيط شبه المنحرف : مجموع اضلاعه الاربعه .
مساحته : (مجموع القاعدتين * الارتفاع ) \2

......................

الدائرة :هي عبارة عم المحل الهندسي لكافة النقاط التي تبعد بعداً ثابتاً عن نقطة معلومة .
البعد يعبر عن نصف قطرها والنقطة المعلومة هي مركز الدائرة .
الوتر في الدائرة : هي عبارة عن القطعة التي تصل بين نقطتين واقعتين على محيط الدائرة ولا تمر بالمركز .
القطر : القطعة التي تصل بين نقطتين مختلفتين على محيط الدائرة وتمر في مركزها , والقطر يقسم الى قسمين متساويين وكل قسم يرمز له ب r .
الزاوية المحيطية : هي الزاوية التي تقع على محيط الدائرة ومحصورة بين وترين من اوتارها او بين قطر ووتر .

...............

المستطيل :هو عبارة عن شكل رباعي وجميع زواياه قوائم وكل ضلعين متقابلين فيه متساويين ومتوازيين , واقطاره متساوية وتنصف بعضها بعضاً .
المحيط : مجموع اضلاعه.
المساحة : الطول * العرض .

.................
متوازي الاضلاع :هو عبارة عن شكل هندسي رباعي وكل ضلعين فيه متساويين ومتوازيين ايضاً .
مساحته : الطول * الارتفاع .
........................

المعين :هو شكل رباعي جميع اضلاعه متساوية وهو عبارة عن متوبزي اضلاع ولكن اقطاره متعامدة .
مساحته : (حاصل ضرب القطرين ) * 1\2
..............

* كل زاويتين متقابلتين بالراس متساويتان.
** مجموع كل زاويتين متجاورتين واقعتين على خط استقامة واحد يساوي 180 درجة .





التناسب ونظرية طالس :التناسب هو التساوي بين نسبتين او اكثر.



نظرية طاليس :اذا قطع مستقيمان متوازيان ساقي زاوية فانهما يقطعان قطع متناسبة من ساقي الزاوية .
جملة عكسية :
اذا قطع مستقيمين ضلعي زاوية ونتج من التقاطع قطع متناسبة فان المستقيمين متوازيين .

نظرية طالس الموسعة :
المستقيم الذي يوازي احد اضلاع المثلث ينتج مثلثاً اضلاعه متناسبة مع المثلث المعطى .





*****
* منصف الزاوية في المثلث يقسم الضلع المقابل الى قسمين النسبة بينهما تساوي النسبة بين الاضلاع التي تحصر الزاوية والعكس صحيح .




تشابه المثلثات :


يتشابه المثلثات اذا توفر احد البنود :
أ‌) احدى نظريات تطابق المثلثات الاربع.
ب‌) اذا كانت الزوايا متساوية في المثلثين على التناظر .

(المثلثات المتطابقة = المثلثات المتشابهة , المثلثات المتشابهة # المثلثات المتطابقة)
يتشابه المثلثان حسب النظريات التالية :
(1) اذا تساوت زوايا المثلث الاول مع زوايا المثلث الثاني يتشابه المثلثان. (ز,ز,ز)
(2) اذا تناسب ضلعان بالمثلث الاول مع ضلعان بالمثلث الثاني والزوايا المحصورة بين الاضلاع متساوية ينتج ان المثلثين متشابهين . (ض,ز,ض)
(3) مثلثان متشابهين اذا تناسبت الاضلاع المتناظرة (ض,ض,ض)

النتائج التي تنتج من تشابه المثلثات :
(1) النسبة بين الارتفاعات المتناظرة في مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة .
(2) النسبة بين منصفات الزوايا المتناظرة في المثلثين المتشابهة النسبة بينهما تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة .
(3) النسبة بين المتوسطات المتناظرة في مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة .
(4) النسبة بين محيطات المثلثات المتشابهة تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة.
(5) النسبة بين انصاف اقطار الدائرة المحصورة في مثلثات متشابهة تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة .
(6) النسبة بين انصاف اقطار الدائرة التي تحصر مثلثات متشابهة تساوي النسبة بين الاضلاع المتناظرة.
(7) النسبة بين مساحات المثلثات المتشابهة تساوي لمربع النسبة بين الاضلاع المتناظرة ....


جواهر عبدالله القباني ..
N2