الجمعة، 26 نوفمبر، 2010

عدد كسري

أرباع الدائرة
الأعداد الكسرية هي نسبة عددين صحيحين إلى بعضهما وعادة ما تكتب بالشكل : أ/ب أو a/b وتدعى كسر، حيث ب لا تساوي الصفر، ندعو أ أو a الصورة أو البسط، وندعو ب أو b المخرج أو المقام.
يمكن كتابة أي عدد كسري بعدد غير منتهي من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب): 3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2. ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق : 1 / 2).
يمكن أيضا التعبير عن أي عدد كسري بشكل كسر عشري ويكون الكسر العشري الممثل للعدد الكسري دوري أو يمكن القول (دوريًا)(أي أن الأرقام الموجودة في الكسر العشري تتكرر بشكل دوري : 0.234234234، 12.363636، 452.563256325632). وهنا يستخدم رمز الخط العلوي للتعبير عن هذه الأعداد الكسرية الدورية.
بالمقابل توجد مجموعة من الأعداد الحقيقية لا تمتلك صفة الدورية هذه في الكسر العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين : وهذه تدعى بالأعداد غير المنطقة أو غير الكسرية (بالإنجليزية: irrational number‏).

 صفات الأعداد الكسرية

العدد القياسي أو الكسري أو هو ما يمكن كتابته ككسر إعتيادي أو خارج قسمة عدد صحيح على عدد صحيح موجب. وعادة ما تكتب بالشكل : أ / ب أو a/b حيث ب لا تساوي الصفر، ندعو أ أو a الصورة أو البسط، وندعو ب أو b المخرج أو المقام.
يمكن كتابة أي عدد قياسي بعدد غير منتهي من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب): 3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2. ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) denominator أي قواسم مشتركة (في المثال السابق : 1 / 2).    
مجموعة الأعداد القياسية - ويرمز لها بالرمز \mathbb Q - هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية وتحوي مجموعة الأعداد الصحيحة، أي أن \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R . وتكون مجموعة الأعداد القياسية حقلاً مرتبًا أرشميديًا.
من الحقائق المعروفة أيضًا عن الأعداد القياسية:
  • أي عدد قياسي هو عدد جبري (أي حل لمعادلة جبرية معاملاتها أعداد صحيحة).
  • أي عدد قياسي له تمثيل عشري منتهي أو دوري.
  • وبالعكس أي عدد له تمثيل عشري منتهٍ أو دوري يكون بالضرورة عددًا قياسيًا.
الأعداد الحقيقية غير القياسية لا تمتلك صفة الدورية في التمثيل العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين : وهذه تدعى بالأعداد غير المنطقة أو غير الكسرية irrational number.

العمليات الحسابية يكون عددان كسريان \frac{a}{b} و\frac{c}{d} متساويان فقط وفقط إذا كان ad = bc.
يتم جمع عددين كسريين كما يلي:
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.
وتتم عملية الضرب كما يلي:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.
كما يوجد أيضًا المقلوب الجمعي والجدائي في الأعداد الكسرية كما يلي:
 - \left(\frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{and}\quad 
\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ if } a \neq 0.

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق