Math-n2: amany

الجمعة، 26 نوفمبر 2010

توحيد المقمات

توحيد المقامات هو مفهوم رياضي لتسهيل جمع أو طرح الكسور، الفكرة الأساسية من وراءه تتمثل في أن جمع أي كسرين يمكن تبسيطه عن طريق إشتراك الكسرين بذات المقام، وهو الأمر الذي يعني ببساطة الحديث عن نفس الوحدة عند جمع البسط. فمثلا، الأنصاف والأرباع يمكن جمعها عند توحيد القيم المراد جمعها على أنها أرباع، وذلك بمضاعفة عدد الأنصاف لدى تحولها إلى أرباع، فمجموع النصف والربع هو عبارة عن مجموع الربعين والربع، حيث كل نصف هو عبارة عن ربعين. في المستوى النظري، لا يهم ما هي القيم التي يتم ضرب الكسور بها من أجل الوصول إلى مقامات مشتركة، لكن على المستوى العملي، فإن الطريقة الأسهل للوصول إلى مقامات موحدة هي ضرب كل من البسط والمقام لكل كسر بمقام الكسر الآخر، مما ينتج عنه عدد مشترك في المقام، وبالتالي تصبح عملية جمع الكسور لا تحتاج أكثر من جمع قيم البسط (الناتجة بعد الضرب في المقام الآخر) واستخدام المقام الموحد.

مثال ${\frac {1}{2}} + {\frac {1}{3}} = {\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}} = {\frac {5}{6}}$
في المثال الأعلى نقوم بعملية توحيد لمفامين مختلفين بالقيمة حيث نضرب مقام العدد الأول بالعدد الثاني ومقام العدد الثاني بالعدد الأول.
في الرياضيات هو كتابة الكسور النسبية بشكل يكون فيه قيمة مقام الكسر موحدة. بحيث تصبح عمليات الجمع والطرح بينهما صحيحة، إذ لا يجوز تطبيق عمليات الطرح البسيطة بين بسطي كسرين دون توحيد المقامات.
تعرف أيضا عملية توحيد المقامات بإيجاد قاسم مشترك بين أرقام كسرية، على سبيل المثال يسهل تمثيل كسور بأثمان تجمع وتطرح من أثمان على تمثيل كسور تمثل أنصاف تجمع إليها أثمان أو تطرح منها، وبالتالي، فإن تحويل النصف إلى ما يكافئه من الأثمان، وهم أربعة أثمان يسهل حساب مجموع النصف وثلاثة أثمان، حيث يكون الجواب بالأثمان، وهو حاصل جمع أربعة أثمان وثلاثة أثمان، أي سبعة أثمان.
يمكن توحيد المقامات بأكثر من طريقة، ويعتبر ضرب بسط ومقام الكسر الأول بمقام الكسر الثاني وضرب بسط ومقام الكسر الثاني بمقام الأول أسهلها من حيث التطبيق، فبما أن الضرب عملية تبديلية، فإن المقام الأول مضروبا بالمقام الثاني سيساوي المقام الثاني مضروبا بالأول، وبالتالي يتحقق توحيد المقامين.
يمكن توحيد المقامات بأي عملية ضرب أو قسمة تطبّق على كل من بسط ومقام الكسر، فمثلا، مجموع الكسرين 2/6 و 4/3 يمكن تبسيط الأول إلى 1/3 بقسمة كل من البسط والمقام على 2، وبالتالي يتم توحيد المقامات بين الكسرين (وقيمة المقام في هذه الحالة 3) ويمكن جمع قيم البسطين 1 و 4 فيكون الكسر الناتج 5/3.

عدد كسري

أرباع الدائرة

الأعداد الكسرية هي نسبة عددين صحيحين إلى بعضهما وعادة ما تكتب بالشكل : أ/ب أو a/b وتدعى كسر، حيث ب لا تساوي الصفر، ندعو أ أو a الصورة أو البسط، وندعو ب أو b المخرج أو المقام.
يمكن كتابة أي عدد كسري بعدد غير منتهي من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب):

3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2

. ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) أي قواسم مشتركة (في المثال السابق :

1 / 2

).
يمكن أيضا التعبير عن أي عدد كسري بشكل كسر عشري ويكون الكسر العشري الممثل للعدد الكسري دوري أو يمكن القول (دوريًا)(أي أن الأرقام الموجودة في الكسر العشري تتكرر بشكل دوري : 0.234234234، 12.363636، 452.563256325632). وهنا يستخدم رمز الخط العلوي للتعبير عن هذه الأعداد الكسرية الدورية.
بالمقابل توجد مجموعة من الأعداد الحقيقية لا تمتلك صفة الدورية هذه في الكسر العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين : وهذه تدعى بالأعداد غير المنطقة أو غير الكسرية (بالإنجليزية: irrational number‏).

صفات الأعداد الكسرية

العدد القياسي أو الكسري أو هو ما يمكن كتابته ككسر إعتيادي أو خارج قسمة عدد صحيح على عدد صحيح موجب. وعادة ما تكتب بالشكل : أ / ب أو a/b حيث ب لا تساوي الصفر، ندعو أ أو a الصورة أو البسط، وندعو ب أو b المخرج أو المقام.
يمكن كتابة أي عدد قياسي بعدد غير منتهي من الأشكال (كنتيجة عن خواص التناسب):

3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2

. ويعتبر الشكل أبسط ما يكون عندما لا يكون للبسط (الصورة) والمقام (المخرج) denominator أي قواسم مشتركة (في المثال السابق :

1 / 2

).
مجموعة الأعداد القياسية - ويرمز لها بالرمز $\mathbb Q$ - هي مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية وتحوي مجموعة الأعداد الصحيحة، أي أن $\mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$ . وتكون مجموعة الأعداد القياسية حقلاً مرتبًا أرشميديًا.
من الحقائق المعروفة أيضًا عن الأعداد القياسية:

أي عدد قياسي هو عدد جبري (أي حل لمعادلة جبرية معاملاتها أعداد صحيحة).
أي عدد قياسي له تمثيل عشري منتهي أو دوري.
وبالعكس أي عدد له تمثيل عشري منتهٍ أو دوري يكون بالضرورة عددًا قياسيًا.

الأعداد الحقيقية غير القياسية لا تمتلك صفة الدورية في التمثيل العشري ولا يمكن التعبير عنها بنسبة عددين صحيحين : وهذه تدعى بالأعداد غير المنطقة أو غير الكسرية irrational number.

العمليات الحسابية يكون عددان كسريان $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$ متساويان فقط وفقط إذا كان $a d = b c$ .
يتم جمع عددين كسريين كما يلي:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.$
وتتم عملية الضرب كما يلي:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.$
كما يوجد أيضًا المقلوب الجمعي والجدائي في الأعداد الكسرية كما يلي:

$- \left(\frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{and}\quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ if } a \neq 0.$